Доклады    в   2021   году

• 14 июня
  Антон Назаров
  "Кососимметрическая двойственность Хау и предельная форма диаграмм Юнга"
  

  Доклад по совместной работе с Ольгой Постновой и Тревисом Скримшоу. В докладе будет рассказано о кососимметрической двойственности Хау, связанной с действием пары групп Ли на внешней алгебре тензорного произведения Cn и Ck. Такая внешняя алгебра допускает разложение без кратностей в прямую сумму тензорных произведений представлений пар групп GL(n), GL(k). При n=2l+1 аналогичное разложение имеет место для пары SO(2l+1), Pin(2k), при n=2l для пары , Sp(2k) и для пары O(2l), SO(2k). Эти разложения можно использовать для того, чтобы ввести вероятностную меру на диаграммах Юнга, параметризующих входящие в разложения представления, как отношение произведения размерностей представлений в паре к размерности внешней алгебры. В пределе бесконечного ранга групп диаграммы сходятся к предельной форме. Для того, чтобы явно описать предельные формы, нам необходимо записать размерность представления двойственной группы через длины строк исходной диаграммы. Чтобы доказать такие формулы, мы свяжем нашу задачу с путями на замощении шестиугольника ромбиками, то есть с димерами на шестиугольной решетке, воспользуемся леммой Линдстрёма-Гесселя-Виенно и конденсацией для определителей. После этого переход к пределу бесконечного ранга осуществляется просто при помощи формулы Стирлинга. Оказывается, что предельные формы для SO(2n+1), и Sp(2n) представляют собой "половинки" предельный формы для GL(2n+1).

• 24 мая
  Филипп Уваров
  "(gl_k, gl_n)-Дуальность в квантовых интегрируемых системах"
  

  Рассмотрим пространство многочленов Pkn от k?n переменных как *gl*k-модуль (S?k)? n и как *gl*n-модуль (S?n)? k. Тогда для ряда квантовых интегрируемых систем, связанных с алгебрами Ли *gl*k или *gl*n, мы можем определить действия соответствующих алгебр высших гамильтонианов (алгебр Бете) на пространстве Pkn. Две такие системы (одна связанная с *gl*k, другая с *gl*n) (*gl*k, *gl*n)-дуальны, если образы их алгебр Бете совпадают в End(Pkn). Вместо пространства Pkn можно также рассматривать пространство многочленов ??kn от антикоммутирующих переменных.
  
  На докладе я собираюсь подробно обсудить (*gl*k, *gl*n)-дуальность для моделей Годена, где алгебры Бете являются подалгебрами универсальных обёртывающих U(*gl*k[t]) и U(*gl*n[t]) алгебр Ли токов. Также, я покажу как эта дуальность проявляется в контексте описания собственных векторов алгебры Бете через пространства квази-экспонент.
  
  Если останется время, я расскажу что известно про дуальность XXX-спиновой цепочки и тригонометрической модели Годена.

• 17 мая
  Юрий Якубович
  "Предельные формы разбиений целых чисел и статистическая физика"
  

  В докладе будут рассказан ряд результатов автора про возникновение предельной формы у диаграмм Юнга случайных разбиений целых чисел (частично, в соавторстве с Л.Богачёвым). Для некоторых моделей, возникающих в квантовой статистической физике и их обобщений, будут даны необходимые условия для возникновения предельной формы. В контексте статистической физики предельную форму можно трактовать, как предельное распределение частиц по энергетическим уровням. Кроме того, будет дана комбинаторная интерпретация модели перехода от статистики Бозе к статистике Ферми посредством так называемых дробных статистик, и отмечена связь с точно решаемой моделью Калоджеро.

• 26 апреля
  Артем Стародубцев (СПбГУ)
  "Деформация Пуассоновой структуры точечной частицы за счет гравитационной обратной реакции"
  

  Рассматривается динамика массивной частицы в системе отсчета пробной частицы при учете гравитационного взаимодействия. Полное действие (гравитация+частицы) редуцируется на границу, разделяющую массивную частицу и пробную частицу, и далее сводится к конечномерному действию, зависящему только от относительных координат и импульсов частиц. Импульсное пространство оказывается подмногообразием группы Лоренца с кривизной, убывающей с расстоянием между частицами по закону Ньютона. Это определяет модифицированную форму скобок Пуассона. При квантовании это приводит к некоммутативности и частичной дискретности в координатном пространстве.

• 19 апреля
  Виталий Тарасов
  "О симметрии XXZ модели в корнях из единицы"
  

  В 1999 г. K.Fabricius и B.McCoy обнаружили, что трансфер-матрица периодической XXZ модели в корнях из единицы коммутирует с некоторым действием sl2 алгебры токов на пространстве состояний XXZ модели. Позже, C.Korff обобщил этот результат на случай квазипериодической XXZ модели для двух специальных значений параметра квазипериодичности, заменив алгебру токов на одну из её борелевских подалгебр. Оказывается, что при достаточно общих значениях параметра квазипериодичности, трансфер-матрица XXZ модели коммутирует с действием некоторой полугруппы матричнозначных многочленов, а при специальных значениях параметра квазипериодичности, действие этой полугруппы индуцирует действие борелевской подалгебры алгебры токов или всей алгебры токов.

• 29 марта
  Евгений Собко
  "From Conformal Bootstrap to Matrix Quantum Mechanics and back"
  

  Conformal Field Theories (CFT) are lighthouses on the map of Quantum Field Theories. Being the end points of renormgroup flow they appear in the various areas of theoretical and mathematical physics ranged from condensed matter systems to String Theories.
  
  Conformal Bootstrap is a nonperturbative symmetry-based approach to CFT. Combining unitarity with crossing symmetry it imposes restrictions on the space of all possible CFTs providing exact bounds for anomalous dimensions and structure constants.
  
  In the first part of my talk I will give a gentle introduction into the modern Conformal Bootstrap Programme in higher dimensions, explain the role of conformal blocks as a main analytical ingredient defining the kinematics of any CFT and then will show how they are related to a novel class of matrix Calogero-Sutherland Quantum Mechanics through the harmonic analysis on the conformal group.
  
  The talk will be given in the format of overview and aimed at a broad audience ranging from phys&math students to specialists working in various areas of theoretical&mathematical physics.

• 15 марта
  Николай Решетихин
  "Квантовые группы в корнях из единицы"
  

  В докладе будут рассказаны основные факты про квантованную универсальную обертывающую для алгебры Ли sl(2). Основное внимание будет уделено структуре этой алгебры Хопфа, когда параметр деформации специализируется в корень из единицы. Доклад будет носить обзорный характер.

• 22 февраля
  Евгений Собко
  "SU(N) PCM at large N, novel double-scaling limit, and the signs of a new noncritical string theory"
  

  SU(N) Principal Chiral Model (PCM) is a chrestomathic example of integrable QFT often pictured as a closest 2D cousin of QCD. Despite the long history and significant amount of research performed through the decades, many very important questions remain open, particularly, large N expansion beyond the leading order hasn't been known. In my talk, I will present a systematic, non-perturbative analysis of the PCM in the large-N limit. Starting with the known infinite-N solution for the ground state at fixed chemical potential, we devise an iterative procedure to solve the Bethe ansatz equations order by order in 1/N. The first few orders, which are explicitly computed, reveal a systematic enhancement pattern at strong coupling calling for the near-threshold resummation of the large-N expansion. The resulting double-scaling limit bears striking similarities to the c=1 non-critical String Theory in its Matrix Model guise and suggests that the double-scaled PCM is dual to a non-critical string with a 2+1-dimensional target space where an additional dimension emerges from the AN-1 Dynkin diagram.
  
  If time permits, I will sketch how PCM with twisted boundary conditions can be placed on the finite cylinder (what corresponds to the compactification of the string’s target space) and solved using modern machinery of Wronskians a Q-functions; comment on the connections with Resurgence Programme; and highlight some new challenges for Wiener-Hopf method.

• 15 февраля
  Борис Рунов
  "Бакстеровские Q-операторы для рациональных спиновых цепочек"
  

  Метод функциональных соотношений является мощным инструментом изучения квантовых интегрируемых систем. Центральным элементом этого метода являются Бакстеровские Q-операторы, т.е. операторы, диагональные в базисе векторов Бете, такие что нули их собственных значений совпадают с корнями Бете. Априорное знание аналитических свойств Q-операторов позволяет получать уравнения Бете напрямую, т.е. не прибегая к анзацу Бете. Мы рассмотрим семейство вырожденных представлений Янгиана Y(gl(n)) с L-оператором линейным по спектральному параметру. Все такие представления могут быть построены из представлений осцилляторных алгебр. Мы покажем, что следы произведений таких операторов по представлению осцилляторной алгебры являются Q-операторами для интегрируемых рациональных gl(n) спиновых цепочек.

• 8 февраля
  Постнова Ольга
  "Ограниченные случайные блуждания и тензорные степени представлений квантовых групп в корнях из единицы"
  

  Мы рассмотрим случайные блуждания соответствующие тензорным степеням векторного представления малой квантовой группы sl2 в корне из единицы. Мы будем интересоваться как неприводимыми компонентами, так и кратностями неразложимых блоков. Оказывается, что эти кратности равны числу путей на полуоси «с фильтрами». Мы рассмотрим асимптотику кратностей в режиме больших уклонений.

• 1 февраля
  Иванов Александр
  "Теорема Атья-Патоди-Зингера для доменных стенок"
  

  Доклад основан на результатах совместной работы с Д.В. Василевичем ( 10.1088/1751-8121/ab9385 ). В работе рассматривается индекс оператора Дирака на компактном четномерном многообразии с доменной стенкой. Последняя определяется как одномерное подмногообразие, на котором компоненты связности испытывают скачок. Мы формулируем и доказываем аналог теоремы Атия-Патоди-Зингера, связывающий индекс с интегралом по объему от плотности Понтрягина и эта-инвариантами вспомогательных операторов Дирака на доменной стенке. Таким образом, индекс выражается через глобальную киральную аномалию в объеме и аномалию четности на стенке.

• 25 января
  Антон Назаров
  "Предельная форма обобщенных диаграмм Юнга для so(2n+1) и флуктуации вокруг нее"
  

  Доклад по совместной работе с Ольгой Постновой и Павлом Никитиным arXiv:2010.16383 . В докладе будет рассказано о доказательстве сходимости обобщенных диаграмм Юнга для неприводимых представлений алгебр Ли серии so(2n+1) по мере, возникающей из разложения тензорной степени спинорного представления на неприводимые, в пределе бесконечной степени и ранга к предельной форме. Будет представлено явное выражение для предельной формы. Также будет показано, что глобальные флуктуации вокруг предельной формы подчиняются центральной предельной теореме. Доказательства опираются на то, что повернутую диаграмму Юнга можно рассматривать, как детерминантный точечный ансамбль. Рекуррентные свойства ортогональных полиномов этого ансамбля задаются трехдиагональной матрицей Якоби и задача оценки флуктуаций и доказательства центральной предельной теоремы сводится к изучению спектра этого оператора.

• 18 января
  Михаил Минин
  "Поляризация границы в шестивершинной модели"
  

  Рассматривается шестивершинная модель на конечной квадратной решётке с частичными граничными условиями типа доменной стенки. Для случая рациональных больцмановских весов вычисляется поляризация на свободной границе решётки. Для конечной решётки результат даётся в виде отношения определителей. В пределе, когда сторона решётки со свободной границей стремится к бесконечности (предел полубесконечной решётки), определители упрощаются и могут быть вычислены в явном виде. Ответ выражается в виде однократного контурного интеграла. В случае, когда размер второй стороны решётки также стремится к бесконечности, асимптотика корреляционной функции вычисляется по методу перевала.