Рассмотрим модель одномерного газа, который в начальный момент состоит из n неподвижных одинаковых частиц массы 1/n. Начальные положения частиц на прямой случайны. Частицы начинают двигаться под действием сил взаимного притяжения. При столкновениях частицы слипаются, образуя новые частицы - "кластеры".
С ходом времени частицы собираются в кластеры, размер которых увеличивается до тех пор, пока все частицы не слипнутся в один гигантский кластер. Задача состоит в вероятностном описании такого процесса слипания при n \to \infty.
Рассмотрим случайный граф на n вершинах, в котором каждые две вершины соединяются ребром или нет с вероятностью 1/2 независимо от других пар. Такие графы почти наверное обладают рядом свойств --- например, почти у любых двух вершин количество общих соседей будет примерно n/4. Пример свойства другого, на первый взгляд, рода: второе собственное число матрицы смежности графа намного меньше первого.
Оказывается, многие из этих свойств эквивалентны, что было обнаружено в конце 80-х независимо разными авторами. Мы расскажем об эквивалентности этих свойств и приведем теоретико-числовой пример псевдослучайного графа.
Строится аналог классической теории инвариантов для классических супералгебр Ли. Рассматриваются некоторые приложения к теории представлений, теории симметрических суперпространств и деформированным квантовым интегрируемым системам.
В докладе будет приведено элементарное доказательство (Wilfrid Gangbo, 2001) результата Бренье о том, что любое векторное поле в R^d, удовлетворяющее неограничительным условиям, с точностью до сохраняющего меру преобразования, представляется в виде градиента выпуклой функции. Предполагается также изложить план доказательства (McCann) результата Бренье о возможности "пересадки" одной вероятностной меры в другую при помощи градиента выпуклой функции.
Пусть $G$ -- решетка (или, более общо, нильпотентная группа с $m$ образующими). Рассмотрим действие группы $G$ сдвигами на пространстве функций $F(G,{0;1})$, снабженное бернуллиевской мерой $\mu$. Случайное блуждание по траекториям такого действия называется случайным блужданием по случайному сценарию. Нас будет интересовать фильтрация, т.е. последовательность сигма-алгебр $A_{\infty}^{-n}$, $n=1, \dots, \infty$, прошлых марковского процесса, порожденного этим блужданием. Метрическим инвариантом фильтраций является так называемая скейлинговая энтропия, введенная А.М.Вершиком. В докладе будет рассказано, как вычислить этот инвариант для рассматриваемого случая. Одним из следствий является то, что такие фильтрации могут быть изоморфны только у групп с одинаковой размерностью. В частности, для решеток $Z_d$ разной размерности $d$ эти фильтрации неизоморфны.
Пусть G -- группа, порождённая m элементами. Рассмотрим её граф Кэли в этих порождающих, и пусть b_n есть объём шара радиусом n в этом графе. Легко показать, что всегда существует предел последовательности (b_n)^{1/n} при n стремящемся к \infty; он называется показателем роста группы G (для заданной системы порождающих). Этот показатель всегда не превосходит 2m-1, а равенство возможно лишь для свободной группы и ее базиса.
Если показатель равен 1, то группа имеет субэкспоненциальный рост и потому аменабельна. В свое время де ля Арп поставил вопрос, может ли рост аменабельных групп быть сколь угодно близок к 2m-1. В совместной работе докладчика и ещё двух авторов дан положительный ответ на этот вопрос, причем даже для весьма узкого подкласса аменабельных групп.
Мы введем понятие аффинной площади поверхности выпуклого тела и расскажем о том, как оно помогает в задачах геометрии чисел. В частности, мы получим неулучшаемые (в размерности хотя бы 5) оценки количества рациональных точек на строго выпуклых поверхностях. Планируется сформулировтаь также несколько открытых вопросов, относящихся как к общей теории аффинных площадей, так и к геометрии чисел.
Теоретико-групповой подход к определению гомотопических групп двумерной сферы приводит к сложным спектральным последовательностям, рассмотренным в 60-е годы Кертисом, Боусфилдом, Каном, Шлезингером и другими. Будет рассказано, как считать маломерные гомотопические группы двумерной сферы с помощью этих спектральных последовательностей и методов Дольда-Пуппе, а также о теоретико-групповых приложениях теоремы Хилтона-Милнора о гомотопическом типе букетов пространств и о недавних совместных результатах докладчика с Бауэсом о связи третьих гомотопических групп с пересечениями подгрупп в группах.
Алгебраический полиморфизм тора $T^n$ (или любой компактной абелевой группы $G$) есть подгруппа $\Pi$ группы $T^n \times T^n$ (соотв. $G\times G$), проекции которой на обе координаты суть эпиморфизмы. Такие подгруппы можно рассматривать как графики многозначных отображений тора на себя, т.е. как соответствия в смысле алгебраической геометрии. Рассматривается динамическая теория таких полиморфизмов, которая обобщает классическую динамическую теорию автоморфимов. С точки зрения общей теории полиморфизмов с инвариантной мерой, разрабатываемой докладчиком, теория алгебраических полиморфизмов имеет много специфических черт. Будет рассказано о спектрах, параметризациях, факторах и орбитах алгебраических полиморфизмов. Имеется много открытых вопросов.
В классической задаче Монжа-Канторовича оптимальный перенос массы происходит вдоль геодезических, в частности, в R^n - по непересекающимся отрезкам прямых. В докладе будет рассмотрено семейство других моделей оптимального переноса массы, в которых геометрия переноса определяется ветвящимися (древовидными) структурами, иногда называемыми "оптимальными ирригационными сетями". В одном предельном частном случае такие модели сводятся к задаче Монжа-Канторовича. В другом предельном случае это задачи определения оптимальных штейнеровских сетей. Рассматриваемые модели порождают интересное семейство псевдометрик в пространстве вероятностных мер на компакте, аналогичных метрике Вассерштейна.
Мы рассматриваем группу Aut(X ,B) всех борелевских автоморфизмов стандартного борелевского пространства (X, B) и группу всех гомеоморфизмов H (Y) канторовского множества Y. На этих группах вводится несколько топологий и изучаются всевозможные соотношения между ними. Одна из этих топологий является прямым аналогом равномерной топологии, которая широко известна в эргодической теории. Рассматриваются различные классы борелевских автоморфизмов и гомеоморфизмов канторовского множества, и находятся их замыкания. В частности, описываются замыкания подмножеств, образованных одометрами, а также периодическими и апериодическими преобразованиями. Доказывается, например, что множество одометров плотно во множестве апериодических преобразований относительно равномерной топологии. В канторовской динамике найдено динамическое описание множества минимальных гомеоморфизмов из H(Y). Изучены замыкания полных и топологически полных групп, порожденных минимальным гомеоморфизмом. Кроме того, показано, что любое апериодическое преобразование в борелевской и канторовской динамиках может быть реализовано как преобразование Вершика, действующее на пространстве бесконечных путей упорядоченной диаграммы Браттели.
Речь пойдет о семействе коммутативных подалгебр в тензорных степенях универсальных обертывающих полупростых алгебр Ли, порожденных высшими гамильтонианами модели Годена. Эти подалгебры были построены Фейгиным, Френкелем и Решетихиным в начале 90-х с помощью теории представлений аффинных алгебр Каца-Муди на критическом уровне и с тех пор активно изучались. Будет рассказано об обнаруженной недавно связи этих подалгебр с квантованием подалгебр сдвига аргумента в алгебрах Пуассона, а также с базисами Гельфанда-Цетлина в представлениях симметрической группы и полной линейной группы.
Реферат доклада
1. Пример: задача о вложении алгебры Гекке в биалгебры.
2. Инволютивные биалгебры и инверсные полугруппы.
3. Примеры дилатаций (=подъема, продолжений) положительных операций до мультипликативных или унитарных. Дерандомизация марковских отображений.
4. Общая постановка задачи о дилатации 2-алгебр в биалгебры: строгие и нестрогие дилатации -- алгебраический и динамический подход.
5. Двумерные примеры.