English version

    Известно, что каждое зацепление представимо в виде замкнутой косы (Александер), причем замкнутые косы, изотопные как зацепления, связаны цепочкой операций Маркова (s), увеличивающих число нитей косы на 1, и им обратных (операций (d)) (А.А. Марков). Бирман и Менаско ввели две операции (e) и (f) над замкнутыми косами, не меняющие тип зацепления и количество нитей в косе.
    В качестве гипотезы (включенной в известный список проблем Кирби) Менаско предложил некоторые необходимые условия применимости операций (d), (e) и (f). В докладе представлены новые общие результаты, из которых в качестве следствий вытекают (уточненные) гипотезы Менаско.

     В докладе будет показано, как с помощью одной и той же несложной конструкции можно строить      примеры групп, имеющие нетривиальную геометрию и нестандартные свойства для блужданий по ним. В частности будет доказано, что ни разрешимость, ни отсутствие кручения в группе не являются геометрическими свойствами.

Мы изучаем термодинамический предел для моделей среднего поля , описывающих работу замкнутых симметричных сетей массового обслуживания.  Рассматриваемый марковский процесс инвариантен относительно действия некоторой группы симметрий фазовом пространстве.  Мы доказываем, что фактор-процесс на пространстве орбит группы G сходится к предельной детерминированной динамической системе.

    Доклад кратко обозревает работы Хованского, McMullen, Morelli, Sturmfels, Fulton, Brion, посвященные алгебре политопов $\Pi $. Основное внимание будет уделено следующим вопросам:

Определение $\Pi $.

Структура градуированной алгебры.

Инварианты Хадвигера.

Cвязь подалгебр $\Pi (P) \subset \Pi $ c торическими многообразими $X(P)$.

Изоморфность $\Pi (P)$ и кольца Чжоу $A^*(X(P))_Q$.

Преобразование Маркова -- Крейна переводит перемежающиеся последовательности в положительные (дискретные) меры. Естественный вопрос состоит в том, когда многомерный аналог этого преобразования переводит неположительные меры в положительные. В дипломной работе и в докладе будут приведены примеры в этом направлении.

В докладе рассматриваются квазикристаллы и мозаики в эвклидовом пространстве, получающиаюеся методом ``cut and project" из решёток, лежащих в произведении этого пространства на другое. В частности, такое представление дает способ вычисления дифракционного спектра мозаики Пенроуза и некоторых квазикристаллов, связанных с подстановками. В последнем случае в качестве второго пространства удобно брать поле p-адических чисел.

Границы случайных блужданий на группах (они совпадают с границами-выход, стационарными границами и почти совпадают с границами Мартина и др.) до сих пор были найдены полностью для очень небольшого класса групп. Метод, описание которого будет дано в докладе, позволяет вычислить границы на группах, в которых есть так называемая стабильная нормальная форма. Этот метод в совокупности с новой реализацией пространства путей в графе Кэли позволяет дать геометрическую модель границы для свободных разрешимых групп, не использующую нормальных форм. Будет рассказано о новых задачах, возникающих в этой связи.

Резюме: См. English part

Пасьянс Фибоначчи - это комбинаторный алгоритм, который строит по перестановке следующие объекты (в порядке упрощения):

(1) инволюцию (разбиение карт на пары и одиночные карты);
(2) ломаную Моцкина;
(3) подмножество (во множестве всех карт).
Правило пасьянса простое: очередная карта сравнивается с верхней в колоде ранее открытых карт; если значение новой меньше, она помещается поверх колоды, если больше - она удаляется вместе с прежней верхней картой. Алгоритм играет для графа Юнга-Фибоначчи ту же роль, что алгоритм Робинсона-Шенстеда для графа Юнга.

Результаты:
1) число остающихся карт распределено так же, как число нечетных циклов;
2) подмножество этих карт ведет себя асимптотически как пуассоновский процесс на отрезке [0,1] с плотностью (1-t)^-1;
3) ломаная Моцкина почти наверное близка к параболе;
4) инволюция (как бинарное отношение) аппроксимирует равномерное распределение в треугольнике.
Мы находим также все инвариантные меры для аналога пасьянса, действующего на бесконечные колоды.

В группе $\Cal P^*$ виртуальных многогранников определяется фильтрация подгрупп $k$-цилиндров: $$ \Cal P^*=Cyl_1\supset Cyl_2 \supset \dots \supset Cyl_n. $$ Построено семейство попарно ортогональных проекторов $$ \delta_k :\Cal P^* \to Cyl_k, $$ сумма которых -- тождественный оператор. Это семейство порождает следующие разложения: $$ \Cal P^* = \delta_1 \Cal P^* \oplus \dots \oplus \delta_n \Cal P^* $$ и $$ Cyl_k = \delta_k \Cal P^* \oplus \dots \oplus \delta_n \Cal P^*. $$

В докладе рассказывается о попытке описания множества $Ext(A,B)$ гомотопических класов расширений $C^*$-алгебры $A$ алгеброй $B$ в терминах асимптотических гомоморфизмов. Рассматривается множество $Ext^{as}(A,B)$ гомотопических классов асимптотических гомоморфизмов из $A$ в алгебру Калкина $Q_B$ (если $B={\cal K}$ --- алгебра компактных операторов, то $Q_B=B(H)/{\cal K}$) и естественное отображение $i:Ext(A,B)\to Ext^{as}(A,B)$. Показано, что при достаточно общих условиях на алгебру $A$ множество $Ext^{as}(A,B)$ совпадает с $E$-функтором Конна--Хигсона, а $i$ --- сюръективно. В частности, любой асимптотический гомоморфизм надстроенной $C^*$-алгебры в алгебру Калкина гомотопен настоящему гомоморфизму, что дает некоторое описание ядра $i$.

Рассмотрим группу Гейзенберга верхнетреугольных матриц 3х3 с элементами из счетного поля конечной характеристики как предел аналогичных групп над конечными полями. Из информации о представлениях этих конечных групп можно получить полное описание ее представлений, фактор-представлений, К-функтора.

Системы образующих в экспоненциальных группах можно упорядочить по степени представимости ими элементов группы. В качестве примеров будут рассмотрены свободные, локально свободные и разрешимые группы.