Домашняя страница О.Я.Виро

Это действительно не математическое ни в коей мере выступление. Я хочу сразу сказать, что это какая-то болтовня филисофская. Мне кажется, что имеются серьёзные основания об этом сейчас поговорить, потому что, во-первых, это стало возможным, во-вторых, положение математики в обществе, повсюду, во всём мире, скорее ухудшается, чем улучшается, и это заставляет нас подумать о том, как сформулировать свою позицию в этом мире.

Так уж получилось, что математика в общественном сознании выглядит как наука без предмета исследования. В лучшем случае, обыватель знает, что математики исследуют не то числа, не то фигуры... не то ещё интегралы. Всё это перепутано с какими-то философскими соображениями об отражении реальности, а с другой стороны об идеализме каком-то.

Мне кажется, что математики, по крайней мере для себя, давно сформулировали, что происходит, чем мы сами занимаемся. И вот почему-то, по какой-то причине, об этом не говорят. Не любят говорить, не любят это формулировать.

Конечно, между собой мы называем вещи своими именами, мы говорим, что занимаемся изучением... ну, конечно, каждый раз какого-то конкретного предмета, но ясно, что этот предмет принадлежит некоему математическому миру, математической реальности. Вот имеется такая вселенная математическая, которая в каком-то смысле параллельна материальной, в каком-то смысле она ещё и более конкретна, чем материальная, более определённа.

Доступна она, к сожалению, далеко не сразу, это не то, что реальный мир, в который каждый человек, как только родился, сразу же погружается, получает доступ к этому миру посредством всех своих чувств. Для того, чтобы проникнуть в математический мир, нужно учиться, нужно развивать соответствующие органы чувств, и они развиваются...

В общем, должна быть какая-то такая картина. К сожалению, математики не удосужились договориться между собой даже об общей терминологии по этому поводу. Я думаю, что хорошо бы было об этом поговорить, чтобы хотя бы возникло какое-то общее согласие относительно того, как это всё на самом деле устроено.

Из чего же сделана эта математическая реальность? Может быть, наиболее древние формулировки по этому поводу мы находим в античной Греции. Обычно на них ссылаются как на платоновский мир идей, классический идеализм.

Но мы знаем, что разные подходы к этому вопросу, как и ко многим другим вопросам, в действительности изоморфны и если кто-нибудь не любит что-то такое нематериальное и умозрительное, можно сказать, что математика изучает универсальный интерфейс между реальным миром, с одной стороны, и нашим сознанием, с другой стороны. Действительно, невозможно детально изучать какие угодно материальные процессы без переформулировки, а эта переформулировка, коль скоро она точна и достаточно глубока, делается через математику.

Короче, мне не хочется здесь спорить с философами, поймите меня правильно, это просто не интересно. Какая разница! Во всяком случае эта математическая вселенная исключительно конкретна, и она сопротивляется произвольным действиям. Попробуйте доказать неправильную теорему. Ничего не получится. Ясно, что теоремы бывают правильные или неправильные. Определения бывают удачные или неудачные, в конце концов, можно использовать какие попало определения, но за это вы будете наказаны. Мы хорошо знаем, что это чрезвычайно реальная вещь - математическая реальность.

Я не думаю, что математика занимается физикой, или чем-нибудь ещё. Арнольд любит говорить, что математика - это дешёвая часть физики, в которой эксперименты почти ничего не стОят. Я думаю, что это не так. У физики есть свой объект изучения... Конечно, многие физики теперь становятся математиками. Разрешите мне по этому поводу сделать небольшое отступление.

В 1995 году я слышал лекцию Атии, была конференция "Геометрия и физика", и он рассказывал о широком круге геометрических ситуаций, которые интересны для физиков. Очень интересный доклад. Кроме того, Атия поделился своим наблюдением об изменении роли математиков в теоретической физике. Раньше, куда шли теоретические физики, когда им нужно было проверить, что это они такое сделали? Они обращались к экспериментаторам: проверьте, пожалуйста, подтверждается ли наша теория экспериментом. Теперь есть такие разделы физики, в которых эксперименты невозможны, там, энергии запредельные или ещё что-нибудь в этом духе. И что же тогда делают эти физики? Они идут к математикам и говорят: вот у нас такая замечательная есть теория, нельзя ли из неё сделать какую-нибудь математику. Если математику сделать можно, то это вроде как подтверждение того, что их физика хороша. Я бы сам такое не решился сказать, потому что я недостаточно знаком с физикой и физиками, я тут ссылаюсь на авторитет Атии.

Всё меняется и в мире физики. Что такое физическая реальность, что такое математическая реальность? Многие физики занимаются математикой, и делают это даже лучше, чем математики. За последние 30 лет было несколько удачных вторжений физиков, или, точнее, идей, сформировавшихся в физике, в математику. Каждое из них было неожиданным и меняло лицо соответствующей области математики. Будучи топологом, я пережил пару таких шоков.

Физики знают математику более широко. Дело в том, что математическое сообщество раздроблено, это его естественное состояние. То, как математиков обучают в университете, делает их алгебраистами, аналитиками, специалистами по теории представлений, топологами, геометрами и так далее. А для физиков это деление математики на области более условно, поэтому они легче прыгают с одной ветви математического мира на другую.

Мы знаем, что математическая реальность чрезвычайно едина, что у неё очень сложная топология. Оказавшись в одной области, вы никогда не знаете, что вас ждёт за углом. За углом может оказаться совершенно другая область, которая вам кажется ужасно удалённой. Но мне бы не хотелось подчёркивать это единство вот почему: тогда возникает проблема обоснования. А проблему обоснования, как известно, математически не решить. Извините, здесь присутствуют специалисты по основаниям математики, я не специалист, но мне кажется, что в результате длительного развития этого предмета стало более-менее ясно, что в конечном виде такие основания не получаются, скорее математика занимается тем, как из одной точки математической реальности добраться до другой, как из чего-то вывести что-то другое.

Мне хотелось бы сказать несколько слов о том, какая привлекательная картина математики возникает, если мы примем реальность математической реальности. Открываем вот такой математический мир. В нём множество миров. Когда я был школьником, я мечтал о полётах в космос, об исследовании звёздных миров. Потом стало ясно, что на моём веку прогресс в изучении звёздных миров не позволит мне удовлетворить свои аппетиты. А математика оказалась совершенно замечательной заменой космоса. В математике случилось больше настоящих концептуальных открытий. В математике прогресс почти не зависит от техники, от "железа". Просто подучись, и ты окажешься в другом мире. И миры эти, при всей их внешней непохожести, оказываются связаны, иногда самым неожиданным образом. Материальность делает, мне кажется, предмет чрезвычайно привлекательным. Кроме того, математика ведь одна такая. Это всяких там физик, биологий, химий много, а математика обслуживает все эти науки. Да ещё такая свобода передвижения, не ограниченная необходимостью покупать новое оборудование!

Вход в математику, как вы знаете, проходит через те же самые числа и фигуры, и вслед за этим необходимо освоить язык, математический язык, что является обычно естественной трудностью - мы знаем, что студенты на первых курсах матмеха получают обычно стабильные оценки, одинаковые оценки, каждый студент, одинаковые оценки по всем предметам, ну или почти одинаковые. Они зависят, главным образом, от того, насколько данный студент освоил математический язык. Если освоил, то он может освоить всё, что угодно.

Может быть, понимание того, что мы делаем, способно повлиять и на математическое образование. Вот надо представлять дело так, что мы приглашаем молодого человека в новый мир, в этот самый мир математики, демонстрируем этот мир и учим языку... Это не только изучение определений и теорем. В нём есть некая целостность.

Нужно развивать, конечно, органы чувств, без которых невозможно познание этого мира. Что это за органы чувств? Ну, опять же, здесь терминология не разработана, но может быть, стоит говорить о том, что математические модели, в том числе физические, геометрические, и какие угодно другие - это способ изучать математический мир. Интерпретация, переход от одной математической теории к другой, модель такого сорта - это тоже что-то вроде органа чувств. Доказательство!, конечно, доказательство. Вот, доказательство - это орган чувств. Как математик чувствует математическую реальность? Он что-то доказывает. Не знаю, может быть, я не прав? Мне кажется, это плодотворная точка зрения.

Одним математикам очевидно одно, другим - другое, когда я учился, меня учили, что очевидно - это значит легко доказать. Очевидно - это вот сразу видишь

Пожалуй, я всё сказал.

Вопрос можно? Олег Янович начал с того, что положение математики сложное сейчас во всём мире. Может быть два слова, в чём эта сложность заключается?

Скорее это относится к одному из предыдущих митингов. Ну известно, что математики сами подрубили сук, на котором сидят, исключив геометрию из курса школы, во многих странах, ослабив её в других. Геометрия использовалась для того, чтобы научить людей думать. Образованная часть общества была благодарна математикам именно за это. Сейчас это исчезло и на месте геометрии оказался чудовищный Calculus, который выхолощен. Особенно на Западе. Там не математический анализ, а там это набор рецептов: считай так, считай этак. В итоге новое поколение совершенно незнакомо с нашим предметом. То есть знакомо, но в таком вот извращённом виде. И это конечно подрывает положение математического сообщества. Здесь, я думаю, для того, чтобы противопоставить этому что-то, может быть даже нужно действовать более агрессивно, чем я только что сказал. В конце концов, математика - это совершенно волшебная сила. Недурно бы вспомнить, что никакого вот этого вот электричества не было бы без работы Максвелла, которая по сути дела была математической работой. Есть множество других примеров.

[Реплика из зала] Электричество было и до Максвелла вообще-то.

- Было, но с ним невозможно было ничего делать. Электромагнитные технологии требуют уравнений.

Не надо преувеличивать роль эксперимента. Эксперимент нужен был для того, чтобы дать пищу для догадок. А догадки сами были сделаны исключительно математическим образом. И как-то об этом хорошо забыли.

[Реплика из зала] ...компьютер ..

Да, компьютер... Достижения, которые обычно приписываются физикам, в значительной степени математические.

[Реплика из зала] - Ну как же Фарадей, интересно? Максвелл без Фарадея никакие уравнения бы не вывел. .. дискуссия .. В действительности, способности математики, математиков, решать проблемы как-то забываются, если об этом не говорить,... Да, и если математика - это наука ни о чём, то тоже как-то трудно требовать уважения. Вот, мне кажется, такой ответ.