Семинар по маломерной математике
21 апреля 2006

Дмитрий Запорожец
О корнях случайного полинома.

Рассмотрим полином $G_n=\xi_0+\xi_1 z+\dots+\xi_n z^n$, коэффициенты
которого являются независимыми одинаково распределенными случайными
величинами. Существует 2 вопроса: сколько он имеет вещественных корней
в среднем, а также, каково поведение его корней на комплексной
плоскости при $n\to\infty$?

В прошлом столетии было получено множество результатов, которые
сводились к тому, что для довольно широкого класса распределений
коэффициентов полинома среднее число его вещественных корней
асимптотически ведет себя приблизительно как логарифм $n$. Что
касается комплексных корней, то были получены результаты, которые с
той или иной степенью точности (в зависимости от класса распределений
коэффициентов) указывали на концентрацию корней около единичной
окружности.

В докладе будет описан случайный полином, в поведении корней которого
(как вещественных, так и комплексных) будет наблюдаться совершенно
иная картина.

Также будут предложены необходимые и достаточные условия того, что
комплексные корни случайного полинома почти наверное концентрируются
около единичной окружности.

---
http://www.pdmi.ras.ru/~lowdimma