Семинар Арнольда
14 ноября 2000 г.

В.И.Арнольд
Лагранжев грасманиан гиперсимплектического пространства

   Гиперсимплектическим пространством назовем четномерное кватернионное 
векторное пространство, снабженное кватернионно-эрмитовой формой, 
которая невырождена и вещественная часть которой определяет квадратичную
форму сигнатуры ноль. Такая структура определяет три вещественных
симплектических структуры -- мнимые части эрмитовой.
   Лагранжевым подпространством гиперсимплектического пространства называется
кватернионное подпростарнство вдвое меньшей размерности, на котором эрмитова
(или квадратичная, или симплектическая -- все эти 5 условий эквивалентны) 
форма равна нулю.
   Исследуется лагранжево многообразие Грассмана (всех лагранжевых
подпространств кватернионного 2n-мерного гиперсимплектического пространства)
и доказывается его диффеоморфность группе унитарно-кватернионных матриц
порядка n.
   Соответствующее обобщение класса Маслова является трехмерным классом
когомологий. Он допускает много описаний (подобных описаниям обычного класса
Маслова в статье на стр. 1 вып. 1 тома 1 "Функционального анализа" о
характеристическом классе, входящем в условие квантования), заслуживающих
более подробного изучения.