"Параболические линии поверхностей и градиентные отображения".
Д.Панов, резюме доклада на семинаре Арнольда 16.09.97

Поверхность, лежащая в трехмерном (аффинном, проективном) пространстве,
содержит точки трех типов: эллиптические, гиперболические и параболические.
В окрестности эллиптической точки поверхность локально выпукла и устроена как
эллипсоид, в гиперболической точке поверхность устроена как однополостный
гиперболоид, все остальные точки -- параболические.
   На поверхности общего положения параболические точки образуют гладкие
линии. Понятно, что двумерная проективная плоскость, лежащая в трехмерном
проективном пространстве, не является поверхностью общего положения и целиком
состоит из параболических точек. Если же такую плоскость пошевелить общим
образом, то от множества параболических точек останется только кривая.
Известно, что при выборе шевеления в классе кубических поверхностей
параболическая линия пошевеленной поверхности содержит четыре компоненты
связности. В докладе будет показано, что существуют шевеления, параболические
линии которых содержат ровно одну компоненту связности.
   Кроме того, будет исследован случай двоякопериодических функций на двумерном
торе. Будут исследоваться замкнутые траектории поля крестиков (асимптотические
линии) в гиперболических областях. Будут рассказаны некоторые факты об
индексах (пересечения), связанные с полями крестиков (квадратичных форм).