"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 539, стр. 31-43
Об управляемости динамической системы акустического рассеяния в $\mathbb R^3$
М. И. Белишев, А. Ф. Вакуленко
С.-Петербургское Отделение
Математического Института
им. В. А. Стеклова, РАН
belishev@pdmi.ras.ru
vak@pdmi.ras.ru
- Аннотация:
Акустическая задача рассеяния состоит в нахождении функции
$u=u^f(x,t)$ из системы
\begin{align*}
&u_{tt}-\Delta u+qu=0, \qquad (x,t) \in {\mathbb R}^3 \times (-\infty,0); \\
&u \mid_{|x|<-t} =0 , \qquad t<0;\\
&\lim_{s \to \infty} s\,u((s+\tau)\,\omega,-s)=f(\tau,\omega),
\qquad (\tau,\omega) \in \Sigma:=[0,\infty)\times S^2,
\end{align*}
в которой потенциал $q\in L_\infty(\mathbb R^3)$ есть вещественная
функция с компактным носителем, а функция $f\in\mathscr
F:=L_2(\Sigma)$ -- управление. Пусть $\mathscr F^\xi:=
\{f\in\mathscr F\,|\,\,f\big|_{0\leqslant \tau\leqslant \xi}=0\}$,
$\mathscr H:=L_2(\mathbb R^3)$, $\mathscr H^\xi:=\{y\in \mathscr
H\,|\,\,y\big|_{|x|<\xi}=0\}$, $\xi>0$. Для (задержанных)
управлений $f\in\mathscr F^\xi$, {\it достижимое множество} есть
$\mathscr U^\xi:=\{u^f(\,\cdot\,, 0)\,|\,\,f\in\mathscr
F^\xi\}\subset\mathscr H^\xi$, а $\mathscr D^\xi:=\mathscr
H^\xi\ominus\mathscr U^\xi$ -- {\it дефектное} (недостижимое)
подпространство. В работе дается следующее описание $\mathscr
D^\xi$.
Назовем функцию $a\in\mathscr H^\xi$ {\it $q$-полигармонической}
порядка $n$, если $(-\Delta +q)^n\, a=0$ выполнено при $|x|>\xi$,
пусть $\mathscr A^\xi_n$ есть множество таких функций. Наш главный
результат это соотношение
\begin{equation*}
{\mathscr D}^\xi \,=\overline{{\rm span\,}\{\mathscr
A^\xi_n\,|\,\,n\geqslant 1\}},\qquad\xi>0
\end{equation*}
(замыкание в $\mathscr H$). Этот результат в основном завершает
исследование управляемости акустической динамической системы,
описываемой локально возмущенным волновым уравнением в $\mathbb R^3$.
Библ. -- 9 назв.
- Ключевые слова: динамическая система,
описываемая локально-возмущенным волновым уравнением, задача
рассеяния, управляемость
[dynamical system governed by locally perturbed wave equation, scattering problem,
controllability]
Полный текст(.pdf)