"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 538, стр. 152-159

Группы Шевалле над кольцами многочленов Лорана

А. Ставрова

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН, набережная реки Фонтанки 27, 191023, Санкт-Петербург, Россия

anastasia.stavrova@gmail.com

Аннотация: Пусть $G$ -- односвязная групповая схема Шевалле--Демазюра, не содержащая сомножителей вида $\SL_2$. Для любого коммутативного кольца $R$ с единицей обозначим через $E(R)$ стандартную элементарную подгруппу $G(R)$, т.е. подгруппу, порожденную элементарными корневыми унипотентами. Пусть $K_1^G(R)=G(R)/E(R)$. Мы доказываем, что естественное отображение $$ K_1^G(R[x_1^{\pm 1},\ldots,x_n^{\pm 1}])\to K_1^G\bigl(R((x_1))\ldots((x_n))\bigr) $$ инъективно для любого $n\ge 1$, при условии, что $R$ -- дедекиндово кольцо или нетерово кольцо, геометрически регулярное над дедекиндовым кольцом с совершенными полями вычетов. При $n=1$ это отображение является, более того, изоморфизмом. Как следствие, мы доказываем, что если $D$ -- кольцо главных идеалов, удовлетворяющее $SL_2(D)=E_2(D)$ (например, $D=\ZZ$), то $$G(D[x_1^{\pm 1},\ldots,x_n^{\pm 1}])=E(D[x_1^{\pm 1},\ldots,x_n^{\pm 1}]). $$ Это обобщает предшествующие результаты А. А. Суслина и В. И. Копейко для специальных линейных и симплектических групп. Библ. -- 23 назв.
Ключевые слова: группа Шевалле, элементарная подгруппа, групповая схема Шевалле--Демазюра, нестабильный $K_1$-функтор, многочлены Лорана, специальное кольцо главных идеалов [Chevalley group, elementary subgroup, Chevalley--Demazure group scheme, non-stable $K_1$-functor, Laurent polynomials, special PID]

Полный текст(.pdf)