"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 537, стр. 128-150

Санкт-Петербургский Государственный Университет, Факультет Математики и Компьютерных Наук

d.m.stolyarov@spbu.ru

Аннотация: Найдены необходимые и достаточные условия на функцию $\Phi$ для выполнения неравенства $$ \Big|\int_\Omega \Phi(K*f)\Big|\lesssim \|f\|_{L_1(\mathbb R^d)}^p. $$ Здесь $K$ -- положительно однородное ядро порядка $\alpha - d$, возможно, векторнозначное, $\Phi$ -- положительно~$p$-однородная функция, и $p=d/(d-\alpha)$. Область $\Omega\subset \mathbb R^d$ либо ограничена и имеет $C^{1,\beta}$ гладкую границу для некоторого $\beta > 0$, либо является полупространством в $\mathbb R^d$. Как следствие, мы описываем положительно однородные порядка $d/(d-1)$ функции $\Phi\colon \mathbb R^d \to \mathbb R$, допускающие равномерную оценку $$ \Big|\int_\Omega \Phi(\nabla u)\Big|\lesssim \int_\Omega |\Delta u|. $$ Библ. -- 16 назв.
Ключевые слова: теоремы вложения Соболева, неравенства Бургейна-Брезиса, дробное интегрирование [ Sobolev embedding theorems, Bourgain--Brezis inequalities, fractional integration]