"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 537, стр. 104-115

Обратная теорема приближения целыми функциями экспоненциального типа

О. В. Сильванович, Н. А. Широков

Санкт-Петербургский горный университет, В.О., 21-я линия, д.2, Санкт-Петербург, Россия

olamamik@gmail.com

Санкт-Петербургское отделение Математического Института им. В. А. Стеклова, наб. р. Фонтанки, д. 27, Санкт-Петербург, Россия

nikolai.shirokov@gmail.com

Аннотация: Пусть $I_k=(a_k,b_k)$, $J_k=[b_k,a_{k+1}]$, $b_k0$ при $n\geq n_0$, $2^{n_0}\cdot 2^{-n\alpha}\le |J_k|\le c_1 2^{n_0}\cdot 2^{-n\alpha}$ с некоторой постоянной $c_1$, если $J_k\subset [2^{n},2^{n+1}]$ или $J_k\subset [-2^{n+1},-2^{n}]$, $ E=\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}J_k.$ Пусть $f_{E,1}(z)$ -- субгармоническая на всей плоскости $\mathbb{C}$ функция, удовлетворяющая условиям $f_{E,1}(x)=0$ при $x\in E,\ f_{E,1}(z)$ гармонична в $\mathbb{C}\setminus E, \underset{z\rightarrow\infty}{\varlimsup}\dfrac{f_{E,1}(z)}{|z|}=1$ и для любой функции $g$, удовлетворяющей условиям $g(x)\leq 0,\ x\in E$, и $ \underset{z\rightarrow\infty}{\varlimsup}\dfrac{g(z)}{|z|}\leq1,$ имеется неравенство $g(z)\leq f_{E,1}(z),\ z\in\mathbb{C}.$ Для $t>0$ положим $L_t(E)=\{z\in\mathbb{C}:f_{E,1}(z)=t\},\ \rho_t(x)=\text{dist}(x,L_t(E)),\ x\in E.$ Пусть $T_{\sigma}$ -- множество целых функций $F_{\sigma}$ экспоненциального типа, удовлетворяющих условию $$ |F_{\sigma}(z)|\leq c_{F_{\sigma}}\text{exp}(\sigma|\text{Im}z|) $$ при $z\in \mathbb{C}$, $\Lambda^s(E)$ -- функции из класса Г\"ельдера порядка $s,\ 0
Ключевые слова: целые функции экспоненциального типа, классы Г\"ельдера, аппроксимация [entire functions of exponential type, H\"older classes, approximation]

Полный текст(.pdf)