8
"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 533, стр. 55-76
Трехмерная обратная задача акустического рассеяния (BC-метод)
М. И. Белишев, А. Ф. Вакуленко
{С.-Петербургское отделение
Математического института
им. В. А. Стеклова РАН
belishev@pdmi.ras.ru
vak@pdmi.ras.ru
- Аннотация:
Пусть $\Sigma:=[0,\infty)\times S^2$, $\mathscr F:=L_2(\Sigma)$.
{\it Прямая задача} акустического рассеяния состоит в нахождении
решения $u=u^f(x,t)$ системы
\begin{align}
\label{Eq 01} &u_{tt}-\Delta u+qu=0, && (x,t) \in {\mathbb R}^3 \times (-\infty,\infty); \\
\label{Eq 02} &u \mid_{|x|<-t} =0 , && t<0;\\
\label{Eq 03} &\lim_{s \to -\infty}
s\,u((-s+\tau)\,\omega,s)=f(\tau,\omega), && (\tau,\omega) \in
\Sigma;
\end{align}
для вещественного финитного потенциала $q\in L_\infty(\mathbb R^3)$ и
управления $f \in\mathscr F$. Оператор реакции $R: \mathscr
F\to\mathscr F$,
\begin{align*}
& (Rf)(\tau ,\omega )\,:= \lim_{s \to +\infty} s\, u^f((s+\tau
)\,\omega ,s), \quad (\tau ,\omega ) \in \Sigma
\end{align*}
зависит от $q$ {\it локально}: если выполнено $\xi>0$ и
$f\in\mathscr F^\xi:=\{f\in\mathscr
F\,|\,\,\,f\!\mid_{[0,\xi)}=0\}$, то значения
$(Rf)\!\mid_{\tau\geqslant\xi}$ определяются значениями
$q\!\mid_{|x|\geqslant\xi}$ (не зависят от $q\!\mid_{|x|<\xi}$).
{\it Обратная задача}: для произвольно фиксированного $\xi>0$
определить $q\mid_{|x|\geqslant\xi}$ по оператору $X^\xi
R\upharpoonright\mathscr F^\xi$, где $X^\xi$ есть проектор в
$\mathscr F$ на $\mathscr F^\xi$. Она решается адекватной версией
метода граничного управления. Подход базируется на недавних
результатах об управляемости системы (\ref{Eq 01})--(\ref{Eq 03}).
Библ. -- 22 назв.
- Ключевые слова: трехмерная динамическая система, описываемая локально возмущенным
волновым уравнением, определение потенциала по данным рассеяния, метод граничного управления.
[three-dimensional dynamical system
governed by the locally perturbed wave equation, determination of
potential from inverse scattering data, boundary control method]
Полный текст(.pdf)