"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 527, стр. 221-241

Теорема типа Л. Альфорса для мер Хаусдорфа

А. А. Флоринский, К. А. Фофанов, Н. А. Широков

Национальный исследовательский университет ``Высшая школа экономики'' в Санкт-Петербурге, Кантемировская ул. д. 3, Санкт-Петербург 194100; РГПУ им. А. И. Герцена, наб. р. Мойки 48, 191186, Санкт-Петербург

kirfof@mail.ru

Санкт-Петербургский государственный университет, Университетская наб.7-9, Санкт-Петербург 199034, Россия; Национальный исследовательский университет ``Высшая школа экономики'' в Санкт-Петербурге, Кантемировская ул. д. 3, Санкт-Петербург 194100, Россия

nikolai.shirokov@gmail.com

Аннотация: Пусть функция $f$ аналитична в области $\Delta\subset\mathbb{C}$, $D=f(\Delta)$ -- риманова поверхность. Рассмотрим $E\subset\Delta$ -- замкнутое множество, положим $l_{R}=\{z\in\Delta\;:\;|f(z)|=R\}$, $h_{\alpha,\beta}(r)=r^{\alpha}|\log{r}|^{\beta},$ $0<\alpha<1$, $0<\beta<1$. Через $\Lambda_{\alpha,\beta}(\cdot),$ $\Lambda_{\alpha+1,\beta}(\cdot)$ обозначим меры Хаусдорфа по отношению к функциям $h_{\alpha,\beta}$, $h_{\alpha+1,\beta}$. Предположим, что $\Lambda_{\alpha+1,\beta}(E)<\infty$. Определим также \begin{enumerate} \item $l_{R,\varepsilon}=\{z\in l_{R}\;:\;\text{dist}(z,\partial\Delta)\geq\varepsilon,\;|z|\leq\frac{1}{\varepsilon}\}$, \item $T_{R,\varepsilon}=f(l_{R,\varepsilon}\cap E)$, \item $G_{\varepsilon}(R)=\begin{cases} 0,\;\;\;\text{если}\;\Lambda_{\alpha,\beta}(T_{R,\varepsilon})=0 \;\text{или}\;\Lambda_{\alpha,\beta}(T_{R,\varepsilon})=\infty\\ \frac{\Lambda_{\alpha,\beta}^{\frac{1+\alpha}{\alpha}}(E\cap l_{R,\varepsilon})}{\Lambda_{\alpha,\beta}(T_{R,\varepsilon})}, \;\text{если} \;0<\Lambda_{\alpha,\beta}(T_{R,\varepsilon})<\infty. \end{cases}$ \end{enumerate} Определим верхний интеграл Лебега $\underset{0\quad}{\overset{\infty}{\int^{\ast}}}g \;\text{d}m$ для функции $g(x)\geq0$ следующим образом: пусть $U(y)=\{x>0\;:\;g(x)>y,\}$ $H(y)=m^{*}U(y)$. Тогда положим $\underset{0\quad}{\overset{\infty}{\int^{\ast}}}g \;\text{d}m\overset{\text{def}}{=}\int\limits_{0}^{\infty}H(y)\;\text{d}y$. Мы доказываем следующий результат. \textbf{Теорема.} {\it Для почти всех $R$ по $1$-мере Лебега выполнено условие $\Lambda_{\alpha,\beta }(T_{R,\varepsilon})<\infty$ и справедливо соотношение } \[\int\limits_{0}^{\infty}\lim\limits_{\overline{\varepsilon\to0}}G_{\varepsilon}(R)\;\text{d}R\leq 2\Lambda_{\alpha+1,\beta}(E).\] Библ. -- 3 назв.
Ключевые слова: принцип длины и площади, меры Хаусдорфа, римановы поверхности [length and area principle, Hausdorff measures, Riemann surfaces]

Полный текст(.pdf)