"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 527, стр. 204-220
Обратная теорема приближения на подмножествах областей с заострениями
К. А. Синцова
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики,
Кантемировская ул., 3,
194100 Санкт-Петербург, Россия
kseniasintlead@gmail.com
- Аннотация:
Пусть $\mathfrak{P}(z)$ -- двоякопериодическая функция Вейерштрасса с периодами $2\boldsymbol{\omega}_1, 2\boldsymbol{\omega}_2$, пусть $Q$ -- параллелограмм периодов на комплексной плоскости,
$Q = \{z \in \mathbb{C}\ : \ z = 2\alpha_1\boldsymbol{\omega}_1 + 2\alpha_2\boldsymbol{\omega}_2,
\ \ \alpha_1, \alpha_2 \in [0,1)\}$.
Рассмотрим односвязную область $D, \overline{D} \subset Q$, с конечным числом внешних по отношению к ней углов, равных $2\pi$. Граничные дуги $\partial D$ в окрестности угловых точек достаточно гладкие, а между граничными точками дуги удовлетворяют условиям соизмеримости дуги и хорды.
Множество функций $f$, для которых функция $f^{(r)}$ имеет модуль непрерывности $\omega(t)$, обозначим через $H^{r+\omega}$. Предполагается, что $\omega(t)$ удовлетворяет следующему соотношению:
\begin{displaymath}
\int\limits_0^x \frac{\omega(t)}{t} dt + x \int\limits_x^\infty \frac{\omega(t)}{t^2} dt \leq c\omega(x).
\end{displaymath}
Пусть функция $\Phi$ конформно отображает область $\mathbb{C} \setminus D$ на $\mathbb{C} \setminus \mathbb{D}$ с нормализацией $\Phi(\infty) = \infty$, $\Phi^{\prime}(\infty) > 0$. Положим
$L_{1+t} = \{z \in \mathbb{C} \setminus D: |\Phi(z)| = 1+t\}$, $\delta_n(z) =\operatorname{dist}(z, L_{1+\frac{1}{n}})$,
$z \in \partial D$. Основным результатом работы является следующее утверждение.
{\bf Теорема}
{\it
Пусть $f\colon\overline{D}\to\mathbb{C}$, и пусть существует последовательность полиномов $P_n(u, v)$, $\deg P_n \leq n$, такая, что
\begin{displaymath}
|f(z) - P_n(\mathfrak{P}(z), \mathfrak{P}^{\prime}(z))| \leq C \delta^{r}_n(z)\omega(\delta_{n}(z)), \ z \in \partial D,
\end{displaymath}
где $C$ не зависит от $n$ и $z$. Тогда $f \in H^{r+\omega}(D)$.}
Библ. -- 5 назв.
- Ключевые слова: кривая Лаврентьева, функция Вейерштрасса, условие chord-arc
[analytic functions, approximation, Weierstrass doubly periodic function]
Полный текст(.pdf)