"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 527, стр. 183-203
Функция Б. Я. Левина для некоторых совокупностей промежутков
О. В. Сильванович, Н. А. Широков
С.-Петербургский горный университет,
В.О., 21-я линия, д.2,
С.-Петербург, Россия
olamamik@gmail.com
С.-Петербургский
государственный университет,
Университетский пр., д.~28;
НИУ ВШЭ СПб, СПб,
ул. Союза Печатников 16,
С.-Петербург, Россия
nikolai.shirokov@gmail.com
- Аннотация:
Пусть $\{I_k\}_{k\in \mathbb{Z}},\ I_k=[a_k,b_k],\ b_k0,\ m\geq n_0$.
Предположим также, что для любого $n\geq n_0$ найдутся такие $k$ и $l$, что $a_k=2^n$ и $b_l=-2^n$.
Функцией Б. Я. Левина мы назовем функцию $f_{E,\sigma}(z),\ \sigma>0$, удовлетворяющую следующим условиям:
1. $f_{E,\sigma}(z)$ субгармонична на всей комплексной плоскости $\mathbb{C}$ и гармонична в $\mathbb{C}\setminus E$;
2. $f_{E,\sigma}(z)=0$, $x\in E;\ f_{E,\sigma}(z)>0,\ z\in\mathbb{C}\setminus E$;
3. $\underset{z\rightarrow\infty}{\varlimsup}\dfrac{f_{E,\sigma}(z)}{|z|}=\sigma,\ f_{E,\sigma}(\overline z)=f_{E,\sigma}(z)$;
4. если $g$ субгармонична в $\mathbb{C}$, $g(x)\leq 0,\ x\in E$ и
$\underset{z\rightarrow\infty}{\varlimsup}\dfrac{g(z)}{|z|}\leq\sigma$, то $$g(z)\leq f_{E,\sigma}(z),\ z\in \mathbb{C}.$$
Функция Б. Я. Левина существует, если $C_1|I_l|\geq|J_k|\geq C|I_l|$ при условии, что
$$ J_k,\ I_l\subset[2^n,2^{n+1}]\text{ или }J_k,\ I_l\subset[-2^{n+1},-2^{n}],\ n\geq n_0.$$
Мы доказываем, что при условии $C\geq c_0(\alpha)$ справедливо соотношение $\max\limits_{x\in I_k}f_{E,\sigma}(x)\leq 6\sigma|I_k| $
и описываем поведение функции $f_{E,1}(z)$ в окрестности отрезков $J_k,\ k\in\mathbb{Z}$.
Библ. -- 8 назв.
- Ключевые слова: субгармонические функции, мажоранты, функция Б. Я. Левина
[subharmonic functions, majorants, B. Ya. Levin function]
Полный текст(.pdf)