"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 527, стр. 155-182
Варианты метода Бургейна для проверки K-замкнутости некоторых подпар
Д. В. Руцкий
С.-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН,
наб. р. Фонтанки, 27, 191023
Санкт-Петербург, Россия
rutsky@pdmi.ras.ru
- Аннотация:
В начале 90-х Ж. Бургейн доказал, что пара $(L_{1}^P, L_{p}^P)$ подпространств,
определённых соотношением $\{P f = f\}$ с помощью проектора $P$,
являющегося оператором Кальдерона--Зигмунда, K-замкнута в соответствующей паре $(L_{1}, L_{p})$ при $1 < p < \infty$.
K-замкнутость означает, что произвольные измеримые разбиения в $L_{1} + L_{p}$ функций из $L_{1}^P + L_{p}^P$
можно исправлять до разбиений в $L_{1}^P + L_{p}^P$ с соответствующими оценками нормы.
В настоящей работе предлагается один вариант рассуждения Ж. Бургейна,
который естественным образом приводит ко многим известным его обобщениям.
В качестве иллюстрации этой техники доказывается следующее обобщение результата С. В. Кислякова и К. Шу о K-замкнутости
пространств Харди на бидиске:
пространства функций на $\mathbb R^2$, носитель преобразования Фурье которых лежит в заданном конечном объединении многоугольников,
K-замкнуты в паре $(L_{1}, L_{\infty})$.
С другой стороны, некоторые контрпримеры в контексте этого подхода выявляют конкретные ограничения,
с которыми подобные методы сталкиваются в более высоких размерностях и при рассмотрении более сложных пространств функций на прямой и на плоскости.
Среди прочего показано, как недавний результат С. В. Кислякова и И. К. Злотникова
о K-замкнутости коинвариантных пространств оператора сдвига $\mathcal K_\theta^{p}$ можно непосредственно вывести из результата Ж. Бургейна,
причём для всей шкалы $(\mathcal K^{1}_\theta, \mathcal K_\theta^{\infty})$.
Библ. -- 24 назв.
- Ключевые слова: вещественная интерполяция, K-замкнутость, пространства Харди, пространства Лоренца,
проблема Сидона, массивные множества, коинвариантные подпространства оператора сдвига
[real interpolation, K-closedness, Hardy spaces, Lorentz spaces, Sidon problem, massive sets,
coinvariant subspaces of the shift operator]
Полный текст(.pdf)