"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 526, стр. 109-129
Марковские ветвящиеся случайные блуждания
по $\mathbf{Z}_+$ с поглощением в нуле
А. В. Люлинцев
С.-Петербургское отделение
Математического института
им. В. А. Стеклова РАН,
С.-Петербург, Россия
la_100k@mail.ru, lav_100k@mail.ru
- Аннотация:
Рассматривается однородный марковский процесс с непрерывным временем на фазовом пространстве
$\mathbf Z_+=\{0,1,2,...\}$, который мы интерпретируем как движение частицы.
Частица может переходить только в соседние точки $\mathbf Z_+$, то есть при каждой
смене положения частицы ее координата изменяется на единицу. Процесс снабжен механизмом ветвления.
Источники ветвления могут находиться в каждой точке $\mathbf Z_+$. В момент ветвления новые
частицы появляются в точке ветвления и дальше начинают эволюционировать независимо
друг от друга (и от остальных частиц) по тем же законам, что и начальная частица.
Нуль на решетке $\mathbf Z_+$ является поглощающим состоянием, то есть частица с ненулевой
вероятностью может перейти в нуль, однако там мгновенно погибает. Такое ветвящееся случайное
блуждание связано с матрицей Якоби. В терминах ортогональных многочленов второго рода,
отвечающих матрице, получены формулы для среднего числа частиц в произвольной фиксированной
точке $\mathbf Z_+\setminus\{0\}$ в момент времени $t>0$. Результаты применены к некоторым
конкретным моделям, получено точное значение для среднего числа частиц в терминах специальных
функций и найдено его асимптотическое поведение при больших временах.
Библ. -- 7 назв.
- Ключевые слова: марковский ветвящийся процесс, ветвящиеся случайные блуждания,
матрицы Якоби, ортогональные многочлены
[Markov branching process, branching random walks, Jacobi matrices, orthogonal polynomials]
Полный текст(.pdf)