"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 525, стр. 109-121
О полной сходимости моментов сумм н.о.р.с.в. с
конечными дисперсиями
Л. В. Розовский
Санкт-Петербургский государственный
химико-фармацевтический университет,
ул. Проф. Попова 14, Санкт-Петербург, 197376, Россия
L_Rozovsky@mail.ru
- Аннотация:
Пусть $\{X_n\},\,n\ge 1,$ является
последовательностью независимых случайных величин с общей функцией
распределения, нулевыми средними и единичными дисперсиями, \ $\bar
S_n =( X_1 +\cdots + X_n)/\sqrt n$.
Основной целью работы является изучение поведения при $\varepsilon\to +0$
и при оптимальных (т.е. необходимых) моментных предположениях сумм
вида
$$
\Sigma_r(\varepsilon) = \sum\limits_{n\ge 1} n^s\,\mathbf E \bar S^r_n\,I[\bar
S_n\ge \varepsilon\, n^\delta],
$$
где $\delta,\,s,\,r$ -- некоторые постоянные,
такие что $\delta> 0$, а $s+1$ и $r$ неотрицательны.
В частности, показано, что если $s>-1/2$ и $(2-r)\,\delta = s+1$, то
$$
\varepsilon^{2-r}\,\Sigma_r(\varepsilon) = \dfrac{1}{2\delta\, (2-r)} +
O\,\big(\lambda(\rho)\big),\ \rho=\varepsilon^{-1/2\delta},\ \lambda(\rho)=\mathbf E
X_1^2\,\Big(1 \land \dfrac{| X_1|}{\rho}\Big).
$$
Аналогичная оценка с более сложной формулировкой имеет место и в
случае $-1
- Ключевые слова: скорость сходимости, точная асимптотика, полная сходимость
моментов
[convergence rate, exact asymptotics, complete convergence of moments]
Полный текст(.pdf)