"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 525, стр. 86-95
Оценки устойчивости по количеству слагаемых для распределений последовательных сумм независимых
одинаково распределенных векторов
А. Ю. Зайцев
С.-Петербургское отделение
Математического института
им. В. А. Стеклова РАН;
Санкт-Петербургский государственный университет, Университетская наб. 7/9, Санкт-Петербург,
199034 Россия
zaitsev@pdmi.ras.ru
- Аннотация:
Пусть $X_1,\dots, X_n,\dots$ -- независимые одинаково распределенные
$d$-мерные случайные векторы с общим распределением $F$. Тогда $S_n =
X_1+\dots+X_n$ имеет распределение $F^n$ (степень понимается в смысле
свертки). Пусть
$$
\rho(F,G) = \sup_A |F\{A\} - G\{A\}|,
$$
где верхняя грань берется по всем выпуклым подмножествам $\mathbf R^d$. Основной
результат следующий. Для любого нетривиального распределения $F$
существует $c_1(F)$, такое что
$$
\rho(F^n, F^{n+1})\leq \frac{c_1(F)}{\sqrt n}
$$
для любого натурального $n$. Распределение $F$ считается тривиальным, если
оно сосредоточено на гиперплоскости, не содержащей начала координат.
Очевидно, что для таких $F$
$$
\rho(F^n, F^{n+1}) = 1.$$
Сформулирован также аналогичный результат для расстояния Прохорова.
Для любого $d$-мерного распределения $F$ найдется величина $c_2(F)$, зависящая только от $F$ и такая что
\begin{multline}
(F^n)\{A\}\le (F^{n+1})\{A^{c_2(F)}\}+\frac{c_2(F)}{\sqrt{n}}\\ \text{и}\quad (F^{n+1})\{A\}\leq (F^n)\{A^{c_2(F)}\}+\frac{c_2(F)}{\sqrt{n}}
\end{multline}
для любого
борелевского множества $ A $ при всех натуральных~$n$.
Библ. -- 16 назв.
- Ключевые слова: суммы независимых случайных векторов,
близость последовательных сверток, выпуклые множества, расстояние Прохорова,
неравенства
[sums of independent random variables, proximity of successive convolutions,
convex sets, Prokhorov distance, inequalities]
Полный текст(.pdf)