"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 523, стр. 7-18

Ограниченное порождение относительных подгрупп в группах Шевалле

Н. А. Вавилов

St. Petersburg State University

Аннотация: В абсолютном случае проблема ограниченного элементарного порождения полностью решена для всех групп Шевалле ранга $\ge 2$ над произвольными дедекиндовыми кольцами $R$ арифметического типа с равномерными оценками. А именно, для каждой приведенной неприводимой системы корней $\Phi$ ранга $\ge 2$ существует {\it равномерная\/} оценка $L=L(\Phi)$ такая, что все односвязные группа Шевалле $\mathrm G(\Phi,R)$ имеют элементарную ширину $\le L$ для всех дедекиндвых колец арифметического типа. Естественно спросить, выполняются ли аналогичные результаты для относительных элементарных групп $E(\Phi,R,I)$, где $I\unlhd R$. Совмещая обычный аргумент переписывания по Шрайеру, который уже применялся в этом контексте Тавгенем, с универсальной локализацией по Степанову, мы даем совсем короткое доказательство того, что это действительно так. Иными словами, ширина $E(\Phi,R,I)$ в {\it элементарных сопряженных} $z_{\alpha}(\xi,\zeta)=x_{-\alpha}(\zeta)x_{\alpha}(\xi)x_{-\alpha}(-\zeta)$, где $\alpha\in\Phi$, $\xi\in I$, $\zeta\in R$, действительно ограничена некоторой константой $M=M(\Phi,R,I)$. Однако, получающиеся у нас константы $M$ не являются равномерными, они зависят не только от $\Phi$, но и от пары $(R,I)$. Библ. -- 40 назв.
Ключевые слова: полная линейная группа, конгруэнцподгруппы, элементарные подгруппы, стандартные коммутаторные формулы [general linear group, congruence subgroups, elementary subgroups, standard commutator formulae]

Полный текст(.pdf)