"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 521, стр. 212-239
Усреднение одномерного периодического оператора четвертого порядка с сингулярным потенциалом
А. А. Раев, В. А. Слоущ, Т. А. Суслина
Институт теоретической и
математической физики, Московский государственный
университет им. М. В. Ломоносова, Ломоносовский пр., д. 27, корп. 1,
119192, Москва, Россия
aleksei.raev@math.msu.ru
С.-Петербургский государственный университет, Университетская наб., д. 7/9,
199034, С.-Петербург, Россия
v.slouzh@spbu.ru
t.suslina@spbu.ru
- Аннотация:
В пространстве $L_2(\mathbb{R})$ рассматривается дифференциальный оператор $B_{\varepsilon}$
четвертого порядка вида
$B_{\varepsilon} = \frac{d^4}{dx^4} + \varepsilon^{-4} V({x}/\varepsilon)$, где
$V(x)$ -- вещественная $1$-периодическая функция класса
$L_{2, \operatorname{loc}}(\mathbb R)$, а $\varepsilon >0$ -- малый параметр.
Предполагается, что точка $\lambda_0 =0$ является нижним краем спектра оператора
$B = \frac{d^4}{dx^4} + V({x})$, причем первая зонная функция
$E_1(k)$ оператора $B$ на периоде $k \in [-\pi, \pi)$
достигает минимума ровно в двух точках
$\pm k_0$, $0< k_0 <\pi$, и ведет себя как $g^{(1)}(k \mp k_0)^2$,
$g^{(1)} >0$, вблизи этих точек.
Изучается поведение при малом $\varepsilon$ резольвенты
$(B_{\varepsilon} + I)^{-1}$.
Получена аппроксимация рассматриваемой резольвенты по операторной норме с погрешностью
$O(\varepsilon^2)$. Аппроксимация описывается в терминах спектральных характеристик оператора
$B$ на краю спектра.
Библ. -- 33 назв.
- Ключевые слова: периодические дифференциальные операторы, усреднение, операторные оценки погрешности
[periodic differential operators, homogenization, operator error estimates]
Полный текст(.pdf)