"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 516, стр. 20-39
Операторы Штурма--Лиувилля с $W^{-1,1}$-матричными потенциалами
Я. И. Грановский, М. М. Маламуд
Донецкий
национальный технический
университет (ДонНТУ),
ул. Артёма, 58, г. Донецк, ДНР
yarvodoley@mail.ru
Российский Университет Дружбы Народов,
Математический институт им. С. М. Никольского,
ул. Орджоникидзе 3, Москва
malamud3m@gmail.com
- Аннотация:
В работе исследуется спектральная структура реализаций матричного трехчленного оператора Штурма--Лиувилля
$$
\mathcal{L}(P,Q,R)y:=R^{-1}(x)\bigl(-(P(x)y')'+Q(x)y\bigr), \qquad y=(y_1,\ldots,y_m)^{\top},
$$
с сингулярным потенциалом $Q(\,\cdot\,) = Q(\,\cdot\,)^*$ на полуоси и оси.
Показывается, что в случае $Q(\,\cdot\,)\in W^{-1,1}(\mathbb{R}_+;\mathbb{C}^{m\times m})$ и некоторых условиях
на коэффициенты $P(\,\cdot\,)$ и $R(\,\cdot\,)$, неотрицательный спектр реализации Дирихле $L^D$ (и других самосопряженных реализаций)
является лебеговским постоянной кратности $m$.
В частности, оператор Шредингера с матричным потенциалом $Q(\,\cdot\,)\in W^{-1,1}(\mathbb{R}_+;\mathbb{C}^{m\times m})$ имеет на полуоси $\mathbb{R}_+$
лебеговский спектр постоянной кратности $m$.
Этот результат применяется к выражению Штурма--Лиувилля $\mathcal{L}(P,Q,R)$ с дельта-взаимодействиями на оси $\mathbb{R}$.
Показано, что если минимальный оператор $L:= L_{\min }$ в $L^2(\mathbb{R};R;\mathbb{C}^m)$ самосопряжен,
то при условии $Q(\,\cdot\,){\bf 1}_{\mathbb{R}_+}(\,\cdot\,)\in W^{-1,1}(\mathbb{R}_+;\mathbb{C}^{m\times m})$ неотрицательный спектр оператора $L$
является лебеговским на полуоси $\mathbb{R}_+$
постоянной кратности $2m$. В частности, если минимальный оператор Шредингера ${\bf H}$ на оси с потенциальной матрицей $Q(\,\cdot\,)=Q_1(\,\cdot\,)+\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\alpha_k\delta(\,\cdot\,-x_k)$, самомопряжен, ${\bf H} = {\bf H}^*$, то его неотрицательный спектр является лебеговским постоянной кратности $2m$ при условиях
$Q_1(\,\cdot\,){\bf 1}_{\mathbb{R}_+}\in L^1(\mathbb{R}_+;\mathbb{C}^{m\times m})$ и $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\alpha_k|<\infty$.
Библ. -- 21 назв.
- Ключевые слова: операторы Шредингера, сингулярные потенциалы, регуляризация, дельта-взаимодействия, граничные тройки, функции Вейля, абсолютно непрерывный спектр
[Schr\"odinger operators, singular potentials, regularization, delta-interactions, boundary triplets, Weyl functions, absolutely continuous spectrum]
Полный текст(.pdf)