"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 515, стр. 121-140
Внутренние объемы эллипсоидов
А. Гусакова, Е. Сподарев, Д. Запорожец
Institute of Mathematical Stochastics, M\"unster University, Orl\'eans-Ring 10,
48149 MГ_nster, Germany
gusakova@uni-muenster.de
Institute of Stochastics, Ulm University, Helmholtzstr 18, 89069 Ulm, Germany
evgeny.spodarev@uni-ulm.de
St. Petersburg Department of Steklov Institute of Mathematics,
27 Fontanka, St. Petersburg, Russia
zap1979@gmail.com
- Аннотация:
Выводится явная формула для внутренних объемов эллипсоидов в $\mathbb R^d$, $d\ge 2$, в терминах эллиптических интегралов. Именно, для эллипсоида ${\mathcal E}\subset \mathbb R^d$ с полуосями $a_1,\ldots, a_d$ показано, что для всех $k=1,\ldots,d$ выполнено
\begin{align*}
V_k({\mathcal E})&=\kappa_k\sum_{i=1}^da_i^2s_{k-1}(a_1^2,\dots,a_{i-1}^2,a_{i+1}^2,\dots,a_d^2)
\\&\times\int\limits_0^{\infty}{t^{k-1}\over(a_i^2t^2+1)\prod_{j=1}^d\sqrt{a_j^2t^2+1}}\,\rm{d}t,
\end{align*}
где $s_{k-1}$ есть $(k-1)$-й элементарный симметрический многочлен и $\kappa_k$ обозначает объем $k$-мерного единичного шара. В случае малых и больших $k$, когда формулы выглядят наиболее просто, приведены примеры. В качестве приложения выведены новые формулы для среднего $k$-мерного объема случайного $k$-симплекса в эллипсоиде и для гауссовского $k$-симплекса.
Библ. -- 33 назв.
- Ключевые слова:
выпуклое тело, внутренний объем, смешанный объем, функционал Минковского, опорная функция, смешанный дискриминант, эллипсоид, полярный эллипсоид, гипергеометрическая R-функция, тождество Вайнштейна--Ароншайна
[Convex body, intrinsic volume, mixed volume, querma{\ss}integral, Minkowski functional, support function, mixed discriminant, ellipsoid, polar ellipsoid,
hypergeometric $R$-function, Weinstein-Aronszajn identity]
Полный текст(.pdf)