"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 512, стр. 116-147
Конформные отображения области, близкой к кругу
М. С. Кузнецова, Н. А. Широков
С.-Петербургский Государственный Университет,
Университетская наб. 7--9, С.-Петербург, Россия
mkuznetsova@hse.ru
Национальный исследовательский университет
``Высшая школа экономики'', Кантемировская ул. 3,
С.-Петербург, 194100, Россия
nikolai.shirokov@gmail.com
- Аннотация:
Пусть $0\le \theta_1<\ldots<\theta_m <\pi < \theta_{m+1}<\ldots< \theta_n <2\pi$, $\theta_{n+1}=\theta_1+2\pi$,
если $n \ge 2$. Предполагаем, что $\theta_k-\theta_{k-1}\ge c_0>0$, если $k\le m$ или $k\ge m+2$,
$\pi-\theta_m\ge c_0$, $\theta_{m+1}-\pi \ge c_0$ и что для некоторых чисел $B_1>0$, $B_2>0$, $\alpha>0$,
$\delta>0$, $\alpha_k, \delta_k$, $1\le k \le n$, выполнены условия
$B_1^{-1}\alpha \le \alpha_k \le B_1 \alpha$, $B_2^{-1}\delta \le \delta_k \le B_2 \delta$,
$\alpha_k \le \frac{1}{10}c_0$, $\delta_k \le \frac{1}{2}\alpha_k$. Предполагаем также, что для $c'_0>0$,
$c_*>0$ справедливы соотношения $\alpha\le c'_0c_0$, $\delta\le c_*\alpha$.
Множества $G_k$ таковы: $G_k\stackrel{def}{=}\{z=re^{i\theta} \, :\, |r-1|\le \delta_k, \, |\theta-\theta_k|\le \alpha_k\},
\, k=1, \ldots n$.
Для $z=e^{i\theta}, \, z \notin G_k$ через $d_k(z)$ обозначена длина наименьшей дуги единичной
окружности $\mathbb{T}$ между $z$ и $G_k$.
$D$ -- жорданова область такая, что $\overline{D} \bigtriangleup \overline{\mathbb{D}} \subset \bigcup\limits_{k=1}^n G_k$,
функция $f$ конформно отображает $D$ на $\mathbb{D}$ так, что $f(0)=0, \, f(-1)=-1$. Основной результат выглядит так.
\noindent{\bf Теорема.} {\it Существуют постоянные $c_1, c_2, c_3$ такие, что при выборе постоянных
$c'_0$ и $c_{*}$, зависящих только от
$c_0, B_1, B_2$, справедливо соотношение
$$
|f(z)-z| \le c_1\alpha \delta \cdot \dfrac{1}{d_k(z)+\alpha}\cdot \log \dfrac{2(d_k(z)+\alpha)}{d_k(z)+\delta}+
c_2\dfrac{\delta^2}{\alpha}+c_3\alpha\delta,
$$
при $d_k(z)=\min\limits_{1\le \nu \le n} d_\nu(z)$ и $d_k(z)\ge \alpha_k+2\delta_k$, и
$
|f(z)-z| \le 2\alpha_k,
$
если $d_k(z) < \alpha_k+2\delta_k$. }
Библ. -- 6 назв.
- Ключевые слова: конформные отображения, квазиконформные отображения, теорема Радо
[Conformal mappings, quasiconformal mappings, Kad\'o theorem]
Полный текст(.pdf)