"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 505, стр. 162-171
Неравенство о случайном сечении и случайном симплексе
А. Е. Литвак, Д. Н. Запорожец
Dept. of Math. and Stat. Sciences,
University of Alberta,
Edmonton, AB, Canada, T6G 2G1
aelitvak@gmail.com
С.-Петербургское отделение
Математического институт
им. В. А. Стеклова,
Фонтанка~27,
191011 С.-Петербург, Россия
zap1979@gmail.com
- Аннотация:
Рассмотрим произвольное выпуклое тело $K\subset\mathbb R^d$. Пусть $X_1,\dots, X_k$, где $k\leq d$, случайным образом равномерно и независимо выбраны в $K$, а $\xi_k$ обозначает случайное равномерно распределенное $k$-мерное линейное подпространство. Мы покажем, что при $p\geq -d+k+1$ выполнено
\[
\mathbf E\,|K\cap\xi_k|^{d+p}\leq c_{d,k,p}\cdot|K|^k\,\,\mathbf E\,|\mathrm{conv}(0,X_1,\dots,X_k)|^p,
\]
где $|\cdot|$ и $\mathrm{conv}$ обозначают объем соответствующей размерности и выпуклую оболочку. Константа $c_{d,k,p}$ такова, что при $k>1$ равенство выполняется тогда и только тогда, когда $K$ -- эллипсоид с центром в начале координат, а при $k=1$ неравенство обращается в равенство.
При $p=0$ данное неравенство обращается в неравенство Буземана о случайном сечении, а при $k=d$ -- в неравенство Буземана о случайном симплексе.
Мы также приведем аффинную версию данного неравенства, которая аналогичным образом обобщает неравенство Шнайдера и неравенство Бляшке--Грёмера.
Библ. -- 15 назв.
- Ключевые слова: выпуклая оболочка, неравенство Бляшке--Гр\"емера, неравенство Буземана, неравенство Шнайдера, случайное сечение, случайный симплекс, формула Бляшке--Петканчина, формула Фюрстенберга--Цкони
[Blaschke-Gr\"omer inequality,
Blaschke-Petkantschin formula,
Busemann intersection inequality,
Busemann random simplex inequality,
convex hull,
expected volume,
Furstenberg-Tzkoni formula,
random section, Schneider inequality]
Полный текст(.pdf)