"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 494, стр. 228-241
Аппроксимация нулей обобщенных полиномов Эрмита
с помощью модулированной эллиптической функции
В. Ю. Новокшенов
Институт математики c ВЦ УФИЦ РАН,
ул. Чернышевского 112, 450008 г. Уфа, Россия
novik53@mail.ru
- Аннотация:
Вычисление распределений нулей полиномов является классической
задачей анализа. В статье найдено приближенное распределение нулей обобщенных
полиномов Эрмита $H_{m,n}(z)$ при $m$, $n\to\infty$, $m/n=O(1)$.
Эти полиномы, представляющие собой вронскианы от классических полиномов Эрмита,
возникают во многих задачах математической физики и теории случайных матриц.
Вычисление асимптотики основано на скейлинговой редукции уравнения Пенлеве IV,
решениями которого являются функции
$u(z)= -2z +\partial_z \ln H_{m,n+1}(z)/H_{m+1,n}(z)$.
При больших значениях $m,\, n$ логарифмическая производная $H_{m,n}$
удовлетворяет уравнению для эллиптической функции Вейерштрасса с медленно
изменяющимися коэффициентами. При этом координаты полюсов такой модулированной
функции Вейерштрасса совпадают с нулями $H_{m,n}$, а условие устойчивости по
линейному приближению позволяет оценить границы множества нулей.
Данная конструкция сравнительно проста и не использует громоздких
вычислений метода изомонодромных деформаций.
Библ. -- 19 назв.
- Ключевые слова:обобщенные полиномы Эрмита, распределение нулей,
уравнение Пенлеве IV, мероморфные решения, функция Вейерштрасса,
метод Лиувилля-Стеклова, устойчивость по линейному приближению
[generalized Hermite polynomials, Painlev\'e IV equation, meromorphic
solutions, distribution of zeroes, Weierstrass function, Lioville-Steklov method,
stability in linear limit]
Полный текст(.pdf)