"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 485, стр. 24-57
Умножение и деление на эллиптических кривых, точки кручения и корни
модулярных уравнений
С. Ф. Адлай
Federal Research Center ``Informatics and Control''
of the Russian Academy of Sciences
semjonadlaj@gmail.com
- Аннотация:
Выразив отношение длины лемнискаты Бернулли к длине описывающей её
концентрической окружности, как величину, обратную
арифметико-геометрическому среднему чисел 1 и $\sqrt{2}$, Гаусс записал в своём
дневнике 30 мая 1799 года, что тем самым зарождается ``совершенно новая
область анализа''. Однако, вплоть до наших дней, изучение эллиптических
функций (и кривых) основывается на двух традиционных подходах (а именно, на
подходах Якоби и Вейерштрасса), а не на одном объединяющим подходе. Замена
искусственной дихотомии методологически обоснованным объединяющим подходом
не только способствует яркому переосмыслению классических результатов, но и
позволяет проводить новые вычисления, которые казались либо недосягаемыми,
либо чрезмерно громоздкими для осуществления. Мы выведем легко проверяемые
явные формулы для проведения высокоэффективной арифметики на комплексных
проективных эллиптических кривых. Также установив явную связь между вычислением
корней модулярного уравнения уровня $p$ с вычислением точек $p$-кручения на
соответствующей эллиптической кривой, мы вновь выведем на свет
непревзойдённый и далеко не полностью оценённый, исключительный вклад Галуа.
Библ. -- 19 назв.
- Ключевые слова: эссенциальная эллиптическая функция Галуа, эллиптический
модуль, проективная комплексная эллиптическая кривая, точка кручения,
арифметико-геометрическое среднее, модулярный инвариант, модулярная группа,
модулярное уравнение, модулярные полиномиальные симметрии
[Galois essential elliptic function, elliptic modulus, complex
projective elliptic curve, torsion point, arithmetic-geometric mean,
modular invariant, modular group, modular equation, modular polynomial
symmetries]
Полный текст(.pdf)