"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 481, стр. 63-73
Парус Клейна и диофантовы приближения вектора
А. А. Лодкин
С.-Петербургский
государственный университет,
С.-Петербург, Россия
alodkin@gmail.com
- Аннотация:
В основанных на идеях Пуанкаре и Клейна работах В. И. Арнольда и его последователей многомерной цепной дробью назывался парус Клейна, который связывался с оператором в $\mathbb R^n$. В его терминах формулировались многомерные обобщения теоремы Лагранжа о цепных дробях.
Другие попытки обобщения цепных дробей опирались на модификации алгоритма
Евклида построения последовательности рациональных векторов, аппроксимирующих заданный $n$-мерный вектор.
Мы предлагаем модификацию паруса Клейна, построенную \emph{непосредственно по иррациональному
вектору} (минуя оператор). Предложена числовая характеристика паруса Клейна -- \emph{асимптотическая анизотропия}, связанная с
однопараметрической группой преобразований решетки и соответствующей деформацией
ячейки Вороного. С этой характеристикой связана надежда дать геометрическую
характеризацию иррациональных векторов, хуже всего аппроксимируемых
рациональными. В трехмерном пространстве предложен вектор (связанный с наименьшим числом Пизо - Виджаярагхавана) -- кандидат на эту роль. Его можно считать аналогом золотого сечения, экстремально плохо приближаемого числа в классической теории диофантовых приближений. Обсуждаются и другие подходы, которые могут оказаться полезными для поиска экстремально плохо приближаемых векторов.
Библ. -- 18 назв.
- Ключевые слова: парус Клейна, многогранник Клейна, диофантовы приближения, золотое сечение,
пластическое число, ячейка Вороного, асимптотическая асферичность
[Klein sail, Klein polyhedron, Diophantine approximation, golden number, plastic number, Voronoi cell, asymptotic asphericity]
Полный текст(.pdf)