"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 480, стр. 73-85
Бесконечное произведение экстремальных мультипликаторов гильбертова пространства с ядром Шварца--Пика
И. В. Виденский
С.-Петербургский государственный
университет, Петергоф,
Университетский просп. 28,
198504, С.-Петербург, Россия
ilya.viden@gmail.com
- Аннотация:
В гильбертовом пространстве $H$ функций на множестве $X$ с воспроизводящим ядром $k_x(y)$ определим расстояние от точки $a$ множества $X$ до подмножества $Z$ множества $X$ следующим образом:
$$
d(a,Z)=\inf\left\{\Big\|\frac{k_a}{\|k_a\|}-h\Big\|\biggm | h\in \overline\SPAN\big\{k_z |\,z\in Z\big\} \right\}\!.
$$
Назовем функцию $\psi_{a,Z}$ экстремальным мультипликатором пространства $H$, если $\|\psi_{a,Z}\|\leq 1,\ \psi_{a,Z}(a)=d(a,Z),\ \psi_{a,Z}(z)=0,\ z\in Z$. Пространство $H$ обладает ядром Шварца--Пика, если для любой пары $(a,Z)$ существует экстремальный мультипликатор. Это определение обобщает хорошо известные пространства с ядром Неванлинны--Пика.
Для пространства $H$ с ядром Шварца--Пика, для величины $d(a,Z)$ доказано неравенство, обобщающее усиленное неравенство треугольника для метрики $d(a,b)$. Для последовательности подмножеств
$$
\{Z_n\}_{n=1}^\infty,\ Z_n\subset X,
$$
удовлетворяющих условию $\sum\limits_{n=1}^\infty\left(1-d^2(a,Z_n)\right)<\infty$, доказано, что бесконечное произведение экстремальных мультипликаторов $\psi_{a,Z_n}$ сходится абсолютно и равномерно на любом шаре метрики $d$, радиус которого строго меньше единицы, а также сходится в сильной операторной топологии пространства мультипликаторов.
Библ. -- 7 назв.
- Ключевые слова: воспроизводящее ядро, мультипликатор, усиленное неравенство треугольника
[reproducing kernel, multiiiiplier, strong triangle inequality]
Полный текст(.pdf)