"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 474, стр. 90-107
Распределение алгебраических чисел на единичной окружности
Ф. Г\"етце, А. Гусакова, З. Каблучко, Д. Запорожец
Faculty of Mathematics,
Bielefeld University,
P. O. Box 10 01 31,
33501 Bielefeld, Germany
goetze@math.uni-bielefeld.de
Faculty of Mathematics,
Bielefeld University,
P. O. Box 10 01 31,
33501 Bielefeld, Germany
agusakov@math.uni-bielefeld.de
M\"unster University,
Orl\'eans-Ring 10,
48149 M\"unster, Germany
zakhar.kabluchko@uni-muenster.de
St.Petersburg Department of Steklov Mathematical Institute,
Fontanka~27,
191023 St.Petersburg, Russia
zap1979@gmail.com
- Аннотация:
Для $-\pi\leq\beta_1<\beta_2\leq\pi$ обозначим $\Phi_{\beta_1,\beta_2}(Q)$ количество лежащих на единичной окружности алгебраических чисел степени $2m$, эллиптическая высота которых не превосходит $Q$, а аргументы принадлежат $[\beta_1,\beta_2]$. Мы покажем, что
$$
\Phi_{\beta_1,\beta_2}(Q)=Q^{m+1}\int\limits_{\beta_1}^{\beta_2}{p(t)}\,{\rm d}t+O\left(Q^m\,\log Q\right),\quad Q\to\infty,
$$
где $p(t)$, с точностью до константы, совпадает с плотностью корней некоторого случайного тригонометрического полинома. Данная плотность будет найдена явно с помощью формулы Эдельмана--Костлана.
Библ. -- 15 назв.
- Ключевые слова: норма Бомбьери, распределение алгебраических чисел, полиномы с целыми коэффициентами, случайные тригонометрические полиномы, вещественные нули
[Bombieri norm, distribution of algebraic numbers, integral polynomials, random trigonometric polynomials, real zeros]
Полный текст(.pdf)