"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 469 , стр. 32-63

Ядерный алгоритм разложения в многомерные цепные дроби

В. Г. Журавлев

Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Москва; Владимирский государственный университет, пр. Строителей, 11, 600024, Владимир, Россия

vzhuravlev@mail.ru

Аннотация: В настоящей работе предлагается универсальный ядерный алгоритм, применимый к любым наборам вещественных чисел $(\alpha_1,\dots,\alpha_d)$ и являющийся модификацией симплекс-ядерного алгоритма. Основное отличие состоит в том, что вместо последовательности симплексов рассматривается бесконечная последовательность $\mathbf{T}=\mathbf{T}_0, \mathbf{T}_1, \dots$, $\mathbf{T}_n, \dots$ $d$-мерных параллелоэдров $\mathbf{T}_n$, в общем случае не связанных отношениями включения. Каждый параллелоэдр $\mathbf{T}_n$ получается из предыдущего $\mathbf{T}_{n-1}$ с помощью операции дифференцирования $ \mathbf{T}_{n}=\mathbf{T}^{\, \sigma_{n}}_{n-1}.$ Параллелоэдры $\mathbf{T}_n$ предствляют собою ядра некоторых индуцированных торических разбиений. Указан некоторый алгоритм ($\varrho$-стратегия) выбора бесконечной последовательности $ \sigma_1,\sigma_2, \dots, \sigma_n, \dots $ дифференцирований $\sigma_n$, обеспечивающий сходимость $\varrho(\mathbf{T}_n) \to 0$ при $n \to +\infty$, где $\varrho(\mathbf{T}_n)$ обозначает радиус параллелоэдра $\mathbf{T}_n$ в метрике $\varrho$, выбираемой в указанном алгоритме в качестве целевой функции. Доказано, что указанные параллелоэдры $\mathbf{T}_n$ обладают свойством минимальности, эквивалентному тому, что получающиеся в результате применения ядерного алгоритма приближения являются наилучшими относительно $\mathbf{T}_n$-норм, являющихся ядерными нормами. Также получена количественная оценка скорости приближения вещественных чисел $ (\alpha_1,\dots,\alpha_d)$ многомерными подходящими цепными дробями. Библ. -- 18 назв.
Ключевые слова: многомерные цепные дроби, наилучшие приближения, симплекс-ядерный алгоритм [multidimensional continued fractions, the best approximations, simplex-karyon algorithm]

Полный текст(.pdf)