"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 468, стр. 249-266
Об анализе согласованности конечно-разностных аппроксимаций
Д. Л. Михельс, В. П. Гердт, Ю. А. Блинков, Д. А. Ляхов
KAUST, Thuwal, 23955-6900, Kingdom of Saudi Arabia
dominik.michels@kaust.edu.sa
Joint Institute for Nuclear Research,
Dubna, 141980, Russian Federation
Peoples' Friendship University of Russia,
Moscow, 117198, Russia
gerdt@jinr.ru
Saratov State University,
Saratov, 413100, Saratov,
Russia
blinkovua@info.sgu.ru
KAUST, Thuwal, 23955-6900, Kingdom of Saudi Arabia
dmitry.lyakhov@kaust.edu.sa
- Аннотация:
Конечно-разностные схемы широко используются в прикладной математике для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных. Однако для заданной разностной схемы обычно очень сложно оценить качество используемой в ней конечно-разностной аппроксимации по отношению к наследованию алгебраических свойств рассматриваемой дифференциальной задачи. В данной работе мы представим критерий, подходящий для такой оценки и означающий свойство сильной согласованности (аппроксимации) для
конечно-разностных дискретизаций систем дифференциальных уравнений в частных производных, которое усиливает стандартное требование аппроксимации рассматриваемых дифференциальных уравнений разностными. Для проверки этого свойства мы используем алгоритм, основанный на вычислении разностных базисов Гребнера. Тем самым, можно не только проверять качество разностных аппроксимаций, но и строить такие аппроксимации, которые наследуют на дискретном уровне важные алгебраические свойства исходных дифференциальных уравнений. Представленный в работе подход проиллюстрирован моделированием дорожки Кармана для двумерного течения вязкой несжимаемой жидкости, описываемого уравнениями Навье--Стокса.
Библ. -- 34 назв.
- Ключевые слова: дифференциальная алгебра, разностная алгебра, нелинейные системы уравнений в частных производных, дифференциальная декомпозиция Томаса, конечно-разностная аппроксимация, разностные базисы Гребнера, слабая и сильная согласованность, уравнения Навье--Стокса
[differential algebra, difference algebra, nonlinear systems of partial differential equations, differential Thomas decomposition, finite difference approximation, difference Gr\"obner bases, weak and strong consistency, Navier--Stokes equations]
Полный текст(.pdf)