"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 468, стр. 202-220
О разностных схемах, аппроксимирующих дифференциальные уравнения первого порядка и задающих проективные соответствия между слоями
Э. А. Айрян, М. Д. Малых, Л. А. Севастьянов
Лаборатория
информационных технологий ОИЯИ, Россия
ayrjan@jinr.ru,ayrjan@jinr.ru
Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей, Российского университета дружбы народов, Россия
malykh_md@rudn.university
Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей, Российского университета дружбы народов, Россия
sevastianov_la@rudn.university
- Аннотация:
Известно, что есть замечательные дифференциальные уравнения, которые могут быть проинтегрированы в CAS, однако нет единого подхода к описанию этого класса дифференциальных уравнений. В нашей работе мы будем говорить о замечательных дифференциальных уравнениях в другом смысле: для этих уравнений можно составить
конечно-разностные схемы, которые точно сохраняют алгебраические свойства решений. Нужно отметить, что этот класс дифференциальных уравнений совпадает с классом, введенным Пенлевe. В терминах задачи Коши дифференциальное уравнение этого класса задает алгебраическое соответствие между начальными и конечными значениями. Например, уравнение Риккати $y' = p (x) y^2 + q (x) y + r (x) $ задает взаимно однозначное (бирациональное) соответствие между начальными и конечными значениями $y$ на проективной прямой. Однако стандартные конечно-разностные схемы не сохраняют это алгебраическое свойство точного решения. Более того, схема, обладающая этим свойством, верно описывает решение не только до, но и после подвижных полюсов и сохраняет такие алгебраические свойства уравнений как ангармоническое отношение. После необходимого введения (разделы 1 и 2) мы описываем такую разностную схему для уравнения Риккати и доказываем ее свойства, упомянутые выше.
Библ. -- 20 назв.
- Ключевые слова: конечные разности, разностные схемы, уравнение Риккати,
проективные соответствия
[finite differences, differential schemes, Riccati equation,
projective correspondence]
Полный текст(.pdf)