"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 458 , стр. 218-235

С.-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН, наб. р. Фонтанки 27, С.Петербург, Россия

fomenko@pdmi.ras.ru

Аннотация: Рассматривается среднее Рисса $D_{\rho}(x;\zeta_3)$ коэффициентов дзета-функции Эпштейна $$ \zeta_3(s)=\sum\limits^{\infty}_{n=1}r_3(n)n^{-s}, $$ ассоциированной с суммой трех квадратов. Из работы (1962 г., MR25\#3911) Чандрасекхарана и Нарасимхана следует, что остаточный член $\Delta _{\rho}(x;\zeta_3)$ в асимптотической формуле для $D_{\rho}(x;\zeta_3)$ оценивается следующим образом: $$ \Delta _{\rho}(x;\zeta_3)=\begin{cases} O(x^{1/2+\rho/2)} & (\rho>1), \\ \Omega _{\pm}(x^{1/2+\rho/2}) & (\rho\geq 0). \end{cases} $$ В настоящей работе доказано: $$ \Delta _{\rho}(x;\zeta_3)=\begin{cases}O(x \log x) & (\rho=1), \\ O(x^{2/3+\rho/3+\varepsilon }) & (1/2<\rho<1), \\ O(x^{3/4+\rho/4+\varepsilon }) & (0<\rho\leq 1/2).\end{cases} $$ Приводятся следствия этого результата, а также новые аналогичные оценки в случае $\zeta_k(s)$, $k\geq 4$. Библ. -- 19 назв.
Ключевые слова: многомерные шары, дзета-функции Эпштейна, средние Рисса [ ]