"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 457, стр. 226-264

Institut de Math\'ematiques de Toulouse, Universit\'e de Toulouse--Paul-Sabatier, F-31062 Toulouse, France \& Institut Universitaire de France

ledoux@math.univ-toulouse.fr

Аннотация: Пусть $X_1,\dots, X_n$ -- независимые случайные величины с общим стандартным гауссовским распределением $\mu$ в ${\mathbb R}^2$ и пусть $\mu_n=\tfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \delta_{X_i}$ -- соответствующая эмпирическая мера. Мы показываем, что для некоторой константы $C>0$ верно $$ \frac{1}{C} \ \frac{\log n}{n} \le \mathbb E \left( W_2^2(\mu_n,\mu) \right) \le C\ \frac{(\log n)^2}{n}, $$ где $W_2$ -- квдратичная метрика Канторовича, и предполагаем, что оценка снизу даёт правильный порядок. Доказательство основано на новом подходе, базирующемся на уравнениях в частных производных и оптимальной транспортировке масс, предложенном Амброзио, Стра и Тревизаном. Библ. -- 39 назв.
Ключевые слова: оптимальное сопоставление, теорема Айтаи--Комлоша--Тушнади, оптимальная транспортировка, ядро теплопроводности, гауссовская выборка [optimal matching, Ajtai--Koml\'os--Tusn\'ady theorem, optimal transport, heat kernel, Gaussian sample]