"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 456, стр. 55-76
Точные оценки линейных приближений непериодическими сплайнами через линейные комбинации модулей непрерывности
О. Л. Виноградов, А. В. Гладкая
С.-Петербургский государственный университет,
Университетский пр., д.28,
198504, С.-Петербург, Россия
olvin@math.spbu.ru
anna.v.gladkaya@gmail.com
- Аннотация:
Пусть $\sigma>0$, $r,\mu\in{\mathbb N}$, $\mu\geqslant r+1$, $r$ нечетно,
$p\in[1,+\infty]$, $f\in W^{(r)}_{p}(\mathbb R)$.
В работе построены линейные операторы ${\mathcal X}_{\sigma,r,\mu}$
со значениями в пространстве сплайнов порядка $\mu$ минимального
дефекта с узлами $\frac{k\pi}{\sigma}$
($k\in\mathbb Z$), для которых
$$
\|f-{\mathcal X}_{\sigma,r,\mu}(f)\|_{p}
$$
\begin{gather*}
\leqslant
\left(\frac{\pi}{\sigma}\right)^{\!r}\left\{\frac{A_{r,0}}{2}
\,\omega_{1}\left(f^{(r)},\frac{\pi}{\sigma}\right)_{\!p}+
\sum\limits_{\nu=1}^{\mu-r-1}A_{r,\nu}
\omega_{\nu}\left(f^{(r)},\frac{\pi}{\sigma}\right)_{\!p}\right\}\\
+\left(\frac{\pi}{\sigma}\right)^{\!r}\biggl(
\frac{{\mathcal K}_r}{\pi^r}-
\sum\limits_{\nu=0}^{\mu-r-1}2^{\nu}A_{r,\nu}
\biggr)
2^{r-\mu}\omega_{\mu-r}\left(f^{(r)},\frac{\pi}{\sigma}\right)_{\!p},
\end{gather*}
\!причем при ${p=1,+\infty}$ константы на множестве $W^{(r)}_{p}(\mathbb R)$ не
могут быть уменьшены.
Здесь ${\mathcal K}_r=\frac{4}{\pi}\sum\limits_{l=0}^{\infty}
\frac{(-1)^{l(r+1)}}{(2l+1)^{r+1}}$ -- константы Фавара,
$A_{r,\nu}$ -- некоторые явно построенные константы,
$\omega_{\nu}$ -- модуль непрерывности порядка $\nu$.
Как следствие получается точное
неравенство типа Джексона
$$
\|f-{\mathcal X}_{\sigma,r,\mu}(f)\|_{p}\leqslant
\frac{{\mathcal K}_r}{2\sigma^r}\,
\omega_1\left(f^{(r)},\frac{\pi}{\sigma}\right)_p.
$$
Библ. -- 17 назв.
- Ключевые слова:
наилучшее приближение, непериодические сплайны, неравенства типа Джексона
[best approximation, nonperiodic splines, Jackson type inequalities]
Полный текст(.pdf)