"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 441, стр. 144-153
Дискриминант и разделение корней полиномов с целыми коэффициентами
Ф. Гётце, Д. Запорожец
Faculty of Mathematics,
Bielefeld University,
P.O.Box 10 01 31, 33501 Bielefeld, Germany
goetze@math.uni-bielefeld.de
St.Petersburg Department of
Steklov Institute of Mathematics,
Fontanka 27, 191011 St. Petersburg,
Russia
zap1979@gmail.com
- Аннотация:
Рассмотрим случайный полином
$$
G_Q(x)=\xi_{Q,n}x^n+\xi_{Q,n-1}x^{n-1}+\dots+\xi_{Q,0}
$$
с независимыми коэффициентами, равномерно распределенными на $2Q+1$ целочисленных точках $\{-Q, \dots, Q\}$. Обозначим $D(G_Q)$ дискриминант $G_Q$. Мы покажем, что существует константа $C_n$, зависящая только от $n$, такая что для всех $Q\ge 2$ распределение $D(G_Q)$ может быть приближено следующим образом:
$$
\sup_{-\infty\leq a\leq b\leq\infty}\left|\mathbf{P}\left(a\leq \frac{D(G_Q)}{Q^{2n-2}}\leq b\right)-\int_a^b\varphi_n(x)\, dx\right|\leq\frac{C_n}{\log Q},
$$
где $\varphi_n$ обозначает плотность распределения дискриминанта случайного полинома степени $n$ с независимыми коэффициентами, равномерно распределенными на $[-1,1]$.
Обозначим $\Delta(G_Q)$ минимальное расстояние между комплексными корнями $G_Q$. В качестве приложения мы покажем, что для любого $\varepsilon>0$ существует константа $\delta_n>0$, такая что $\Delta(G_Q)$ стохастически ограничено снизу и сверху для всех достаточно больших $Q$ в следующем смысле:
$$
\mathbf{P}\left(\delta_n<\Delta(G_Q)<\frac1{\delta_n}\right)>1-\varepsilon .
$$
Библ. -- 14 назв.
- Ключевые слова: распределение дискриминантов, целочисленные полиномы, дискриминант полинома, разделение корней полинома
[distribution of discriminants, integral polynomials, polynomial discriminant, polynomial root separation ]
Полный текст(.pdf)