"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 440 , стр. 187-204
О среднем квадратичном остаточного члена для дзета-функций Дедекинда
О. М. Фоменко
C.-Петербургское отделение
Математического института,
им. В. А. Стеклова РАН,
Фонтанка 27, 191023
С.-Петербург, Россия
fomenko@pdmi.ras.ru
- Аннотация:
Пусть $K_n$ -- поле алгебраических чисел степени $n$ над $\mathbb Q$.
Обозначим через $D(x,K_n)$ количество целых идалов поля $K_n$, норма
которых $\leq n$. Справедлива асимптотика
$$
\Delta (x, K_n)=D(x, K_n)-\Lambda_n x.
$$
История оценок остаточного члена $\Delta(x, K_n)$ начинается с результатов
$$
\Delta (x, K_n)\ll x^{1-\frac{1}{n}} \quad\text{(Вебер (1896))}
$$
и
$$
\Delta(x, K_n)\ll x^{\frac{n-1}{n+1}} \quad \text{(Ландау (1917))}
$$
Если $n>2$, то, как доказали Чандрасекхаран и Нарасимхан в 1964 году,
\begin{equation}
\int\limits^x_1\Delta(y, K_n)^2\,dy \ll x^{3-\frac{4}{n}}\log^nx.
\tag{1}
\end{equation}
В настоящей статье автор усиливает (1) в двух случаях:
1) для $K_4=\mathbb{Q}(\root 4\of{m})$, $m>1$ и целое, имеет место
$$
x^{\frac{7}{4}}\ll \int\limits^x_1\Delta (y,K_4)^2dy\ll
x^{\frac{7}{4}+\vep};
$$
2) для $K_6$, нормального замыкания кубического поля $K_3$ с группой Галуа
$S_3$ и дискриминантом $\Delta <0$, имеет место
$$
x^{\frac{11}{6}}\ll \int\limits^x_1\Delta (y,K_6)^2\,dy \ll x^{2+\vep}.
$$
Библ. -- 20 назв.
- Ключевые слова: дзета-функция Дедекинда, распределение идеалов, средние значения
[Dedekind zeta function, ideal distribution, mean values]
Полный текст(.pdf)