"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 438, стр. 225-235
О вычислении индекса Морса и продолжении лучевых формул за каустики
М. М. Попов
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН,
Фонтанка 27, 191023 С.-Петербург,
Россия
mpopov@pdmi.ras.ru
- Аннотация:
Лучевой метод, будучи алгоритмически простым и наглядным с физической точки зрения, широко используется для расчета
высокочастотных волновых полей различной физической природы. И хотя он не применим на каустиках, и в неоднородных средах могут
возникать многочисленные каустики, они все же имеют меру нуль. Это означает, что даже в сложных неоднородных средах имеются
подобласти, свободные от каустик, где возможно использовать лучевые формулы. Для этого необходимо подсчитать скачки фаз в них,
вызванные переходом лучей через каустики, то есть вычислять индекс Морса -- число фокальных точек (с учетом их кратности) -- на луче
между источником волнового поля и точкой наблюдения. В статье рассматривается эта задача и дано её полное решение в случае двух
пространственных переменных. А именно, строится явная формула для комплексно-значной функции вещественной переменной -- длины дуги
вдоль луча -- приращение аргумента которой, вычисленное по модулю $2\pi$, позволяет находить индекс Морса в обоих случаях, когда
поле лучей задано точечным источником и когда оно порождено изначально заданным волновым фронтом $\tau=\mathrm{const}$.
Библ. -- 9 назв.
- Ключевые слова: лучевой метод, геометрическое расхождение, каустики, индекс Морса
[ray method, geometrical spreading, caustics, Morse index]
Полный текст(.pdf)