"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 437, стр. 35-61
Ортогональные пары и взаимно-несмещенные базисы
А. Бондал, И. Ждановский
Steklov Institute of Mathematics,
Moscow, Russia;
Kavli Institute for the Physics
and Mathematics of the Universe (WPI),
The University of Tokyo, Kashiwa,
Chiba 277-8583, Japan;
HSE Laboratory
of Algebraic Geometry,
Moscow, Russia;
The Institute for Fundamental Science,
Moscow, Russia
Moscow Institute of Physics and Technology;
HSE Laboratory
of Algebraic Geometry, Moscow, Russia
ijdanov@mail.ru
- Аннотация:
Данная работа посвящена изучению близких друг другу математического и
физического обьектов: ортогональных пар в ${\rm sl}(n)$ и
взаимно-несмещенных базисов в ${\mathbb C}^n$.
Математический обьект -- это пара картановских подалгебр в алгебре Ли
${\rm sl}(n)$, ортогональных относительно формы Киллинга. Описание
ортогональных пар -- важный шаг к решению открытой проблемы
классификации разложений алгебры Ли ${\rm sl}(n)$ в прямую сумму
ортогональных (в смысле формы Киллинга) картановских подалгебр. С
другой стороны, одним из важных понятий квантовой механики, квантовой
теории информации и квантовой телепортации являются взаимно-несмещенные
базисы. А именно, взаимно-несмещенные базисы в эрмитовом пространстве
${\mathbb C}^n$ -- это пара базисов $\{e_i\}^n_{i=1}, \{f_j\}^n_{j =
1}$, таких, что $|\langle e_i | f_j \rangle|^2 = \frac1n$ для любых
$i,j = 1,\ldots,n$. Понятия ортогональных пар в ${\rm sl}(n)$ и
взаимно-несмещенных базисов в ${\mathbb C}^n$ очень близки друг к
другу. На настоящий момент проблемы классификации ортогональных пар в
${\rm sl}(n)$ и взаимно-несмещенных базисов в ${\mathbb C}^n$ открыты
даже для случая $n = 6$. В работе мы даем обзор нашего доказательства
существования комплексного четырехмерного семейства ортогональных пар
в ${\rm sl}(6)$. В этом доказательстве сильно используются методы
теории представлений и алгебраической геометрии. Как следствие из
этого результата получается существование семейства
взаимно-несмещенных базисов в ${\mathbb C}^6$, параметризованного
четырьмя действительными параметрами, что решает достаточно давно стоящую гипотезу.
Библ. -- 24 назв.
- Ключевые слова:
ортогональные пары, взаимно-несмещенные базисы,
комплексно-адамаровы матрицы, обобщенно-адамаровы матрицы
[orthogonal pairs, mutually unbiased bases (MUB), complex
Hadamard matrices, generalized Hadamard matrices]
Полный текст(.pdf)