"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 432, стр. 177-195
Вычисления в исключительных группах, пять лет спустя
А. Лузгарев, Н. Вавилов
St.Petersburg State University,
St.Petersburg, Russia
nikolai-vavilov@yandex.ru
mahalex@yandex.ru
- Аннотация:
Настоящая статья является слегка расширенным текстом нашего доклада на
PCA-2014. Там мы анонсировали два недавних результата, связанных с
явными полиномиальными уравнениями, определяющими исключительные
группы Шевалле в микровесовых и присоединенных представлениях. Один из
них состоял в явном не зависящем от характеристики описании уравнений
на матричные элементы матриц из односвязной группы Шевалле $G(\E_7,R)$
в 56-мерном представлении $V$. Ранее такого типа описание было известно
для группы $G(\E_6,R)$ в 27-мерном представлении, в то время как для группы
типа $\E_7$ оно имелось лишь при дополнительном предположении, что
$2\in R^*$. В частности, мы вычисляем нормализатор $G(\E_7,R)$ в
$\GL(56,R)$ и устанавливаем, что, как и нормализатор элементарной
подгруппы $E(\E_7,R)$, он совпадает с расширенной группой Шевалле
$\bar G(\E_7,R)$. Конструкция инвариантов основана на работах Дж. Лурье
и первого автора о $\E_7$-инвариантных 4-формах на $V$.
Еще один важный
новый результат состоит в явном описании квадратичных уравнений,
определяющих орбиту вектора старшего веса в присоединенных представлениях
групп Шевалле типов $\E_6$, $\E_7$ и $\E_8$. Часть этих уравнений, а именно
уравнения, не включающие нулевых весов, так называемые квадратные уравнения
(или $\pi/2$-уравнения), были описаны вторым автором. Недавно первому автору
удалось завершить этот результат, явно перечислив уравнения, в которые
координаты нулевого веса входят линейно ($2\pi/3$-уравнения) или квадратично
($\pi$-уравнения). Кроме того, мы совсем коротко обсуждаем недавние результаты
С. Гарибальди и Р. М. Гуральника, относящиеся к инвариантам степени 8 для
группы типа $\E_8$.
Библ. -- 74 назв.
- Ключевые слова:
группы Шевалле, элементарные подгруппы, исключительные
группы, полилинейные инварианты, микровесовые представления,
присоединенные представления, орбита старшего веса
[Chevalley groups, elementary subgroups, exceptional groups,
multilinear invariants, microweight representation, adjoint representation,
highest weight orbit]
Полный текст(.pdf)