"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 420, стр. 103-126

Обнаружение функций разреженных переменных

Ю. И. Ингстер, И. А. Суслина

Ст.-Петербургский Национальный исследовательский Университет информационных технологий, механики и оптики, Кронверкский проспект, дом 49, 197101 Санкт-Петербург

isuslina@mail.ru

Аннотация: Наблюдается неизвестная функция $d$-переменных $f=f(t), t=(t_1,\dots,t_d)\in[0,\,1]^d$, $ f\in L_2([0,1]^d)$ в гауссовском белом шуме на кубе $[0,\,1]^d$. Мы проверяем простую гипотезу $H_0: \ f=0$ против альтернативы $H_1$. В качестве альтернативы мы рассматриваем множество функций отделенных от нуля: $$ \|f\|\ge r_\varepsilon, $$ для некоторого положительного семейства $r_\varepsilon\to_{\varepsilon\to 0} 0$. Кроме того, мы предполагаем, что функция $d$-переменных $f$ является функцией меньшего числа переменных $s$ (функция ``разреженных переменных'') и удовлетворяет некоторым регулярным ограничениям. Рассматривается также задача адаптации по $k=1,\dots,s$. Мы предполагаем, что $d=d_\varepsilon\to\infty$. Число $s\in \mathbb N$ фиксировано или $s=s_\varepsilon\to\infty,\ s=o(d)$. В минимаксной постановке задачи мы изучаем вероятности ошибок и находим критические радиусы, которые обеспечивают различимость. Затем полученные результаты мы применяем к случаю, когда альтернативы являются соболевскими шарами с удаленным $L_2$-шаром. Библ. -- 6 назв.
Ключевые слова: обнаружение разреженного сигнала, минимаксная проверка гипотез, адаптивная минимаксная проверка гипотез, точные границы обнаружения [detection of sparse signal, minimax testing, minimax adaptive testing, sharp detection bounds]

Полный текст(.pdf)