"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 416, стр. 98-107
Целые функции, наименее уклоняющиеся от нуля в равномерной метрике с весом
А. В. Гладкая
С.-Петербургский
государственный университет,
Университетский пр. 28,
Петродворец, 198504 Санкт-Петербург, Россия
anna.v.gladkaya@gmail.com
- Аннотация:
Работа содержит обобщение результатов П.Л.Чебышева о полиномах, наименее улоняющихся от нуля в равномерной метрике с весом, на целые функции экспоненциального типа.
Предъявлена функция $f_\sigma$, наименее уклоняющаяся от нуля среди целых функций степени $\sigma$, принадлежащих классу $A$. Этот класс включает в себя функции, ненулевые корни которых $a_k$ удовлетворяют неравенству $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left|\Im\frac{1}{a_k}\right|<\infty$.
Пусть даны функция $\rho_m$ класса $A$, степени $m$, четная, положительная на вещественной оси, и число $\sigma>m$. Положим
$$f_{\sigma}(z):=\frac{1}{2}\left(e^{-i\sigma z}g_m^2(z)+e^{i\sigma z}g_m^2(-z)\right),
$$
где $\rho_m(x)=|g_m(x)|^2$. Для функции $f_\sigma$ доказана следующая теорема.
\textbf{Теорема.}\textit{\,Для любой целой функции $Q$ класса $A$, отличной от тождественного нуля, степени меньшей $\sigma$ выполняется неравенство
$$
\sup\limits_{\mathbb{R}}\left|\dfrac{f_{\sigma}-Q}{\rho_m}\right|>\sup\limits_{\mathbb{R}}\left|\dfrac{f_{\sigma}}{\rho_m}\right|.
$$}
Другими словами, единственным элементом наилучшего приближения для функции $f_\sigma$ среди функций меньшей степени будет тождественный ноль.
Библ. -- 5 назв.
- Ключевые слова:
целые функции, наименьшее уклонение от нуля
[entire function, the least deviation from zero]
Полный текст(.pdf)