"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 416, стр. 5-52

Операторно липшицевы функции и модельные пространства

А.Б. Александров

С.-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Фонтанка 27, С.-Петербург, 191023, Россия

alex@pdmi.ras.ru

Аннотация:Пусть $H^\infty$ обозначает пространство ограниченных аналитических функций в верхней полуплоскости $\bC_+$. В работе доказано, что каждая функция из модельного пространства $H^\infty\cap\Theta\ov{H^\infty}$ операторно липшицева на вещественной прямой $\R$ в том и только в том случае, когда внутренняя функция $\Theta$ удовлетворяет обычному условию Липшица, т.~е. $\Theta^\prime\in H^\infty$. Пусть $(\OL)^\prime(\R)$ обозначает множество всех функций $f\in L^\infty$, первообразная которых операторно липшицева на вещественной прямой $\R$. Мы доказываем, что $H^\infty\cap\Theta\ov{H^\infty}\subset(\OL)^\prime(\R)$, если внутренняя функция $\Theta$ является произведением Бляшке с корнями, удовлетворяющими равномерному условию Фростмана. В работе также изучаются следующие вопросы. Когда внутренняя функция $\Theta$ принадлежит пространству $(\OL)^\prime(\R)$? Когда все делители внутренней функции $\Theta$ принадлежат пространству $(\OL)^\prime(\R)$? В качестве приложения мы доказываем, что пространство $(\OL)^\prime(\R)$ не является подалгеброй алгебры $L^\infty(\R)$. Ещё одно приложение связано с описанием множеств точек разрыва производных операторно липшицевых функций. Мы доказываем, что множество $\mathcal E, \mathcal E\subset\R$, является множеством точек разрыва некоторой операторно липшицевой функции в том и только в том случае, когда $\mathcal E$ есть множество первой категории и типа $F_\s$. Значительная часть результатов статьи основана на достаточном условии операторной липшицевости, полученном Арази, Бартоном и Фридманом. В статье приводится также достаточной условие операторной липшицевости, которое тоньше достаточного условия Арази--Бартона--Фридмана. Библ. -- 27 назв.
Ключевые слова: операторно липшицевы функции, внутренние функции, модельные пространства [operator Lipschitz functions, inner functions, model spaces]

Полный текст(.pdf)