"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 415, стр. 24-28
О пространстве выпуклых фигур
В. В. Макеев, Н. Ю. Нецветаев
С.-Петербургский государственный университет,
Университетский пр. 28, Петродворец,
198504 Санкт-Петербург, Россия
mvv57@inbox.ru, netsvetaevnikita@gmail.com
- Аннотация:
На фактормножестве множества $F$ плоских
выпуклых фигур (множества $T$ выпуклых тел в старших размерностях)
по действию группы подобний определяется метрика
$$
d(\{K_1\}, \{K_2\}) ={\rm inf}\{\ln(b/a)\},
$$
где $\{K_1\}$, $\{K_2\}$ -- классы эквивалентности фигур $K_1$ и $K_2$, а $a$ и $b$ -- положительные числа, для которых существует подобное
преобразование $A$ такое, что $aA(K_1)\subset K_2\subset bA(K_1)$.
Обозначим через $D_2$ плоский единичный круг, а через $F_x$ для $x>0$ -- множество плоских выпуклых фигур $K$ с $d(\{D_2\}$, $\{K\}) \geqslant x$. На множествах $F$ и $T$ определена также обычная метрика Хаусдорфа.
Мы доказываем, что если
$y>\ln(\sec(\pi/n))\! \geqslant\! x$ для натурального $n\! >\! 2$, то не существует ${\rm SO}(2)$-эквивариантного отображения $F_x{ \to} F_y$.
Пусть $M_k(n)$ -- пространство $k$-мерных
выпуклых многогранников с не более чем $n$ гранями
старшей размерности (вершинами), а $M_k$ --
пространство $k$-мерных выпуклых многогранников.
Мы доказываем, что не существует непрерывного ${\rm SO}(k)$-эквивариантного отображения
$M_k ( n + k ) \to M_k ( n )$.
Пусть $T$ -- пространство выпуклых тел в $\mathbb R^k$,
а $T^s$ -- его замкнутое подпространство из центрально-симметричных тел.
Пусть $T_x$ означает замкнутое подмножество в $T$, расстояние $d$ от
классов которого до $T^s$ составляет по меньшей мере $x>0$.
Мы доказываем, что для всякого $y > 0$ найдется такое
$x > 0$, для которого не существует непрерывного ${\rm SO}(k)$-эквивариантного отображения $T_x \to T_y$. Библ. -- 3 назв.
- Ключевые слова: выпуклая фигура, выпуклое тело, ортогональная группа, векторное расслоение, многообразие Грассмана
[convex figure, convex body, orthogonal group, vector bundle, Grassmannian]
Полный текст(.pdf)