"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 412, стр. 252-273
Аппроксимация по вероятности
тензорных случайных полей возрастающей параметрической размерности
А. А. Хартов
С.-Петербургский государственный университет,
Лаборатория им. П. Л. Чебышева,
14 линия В. О. 29а,
199178 Санкт-Петербург, Россия
AlexeyKhartov@gmail.com
- Аннотация: Рассматривается последовательность
гауссовских тензорных
случайных полей $X_d$, $d\in \mathbb{N}$ следующего вида
\begin{eqnarray*}
X_d(t)=\sum_{k\in\widetilde{\mathbb{N}}^d}\prod_{l=1}^d\lambda_{k_l}^{1/2}\,\xi_k\,\prod_{l=1}^d\psi_{k_l}(t_l),\quad t\in [0,1]^d,
\end{eqnarray*}
где $(\lambda_i)_{i\in\widetilde{\mathbb{N}}}$
и $(\psi_i)_{i\in\widetilde{\mathbb{N}}}$ --
все положительные собственные числа и функции ковариационного
оператора процесса $X_1$, $(\xi_k)_{k\in\widetilde{\mathbb{N}}}$
-- стандартные гауссовские случайные величины, и
$\widetilde{\mathbb{N}}$ -- некоторое подмножество натуральных чисел.
Исследуется точное асимптотическое поведение вероятностной сложности
аппроксимации полей $X_d$ частичными суммами $X_d^{(n)}$:
\begin{eqnarray*}
n_d^{pr}(\varepsilon,\delta):=\min\Bigl\{n\in\mathbb{N}: {\bf P}\left(\|X_d-X_d^{(n)}\|^2_{2,d}>\varepsilon^2 \,{\bf E}\,\|X_d\|^2_{2,d}\right)\leqslant\delta \Bigr\},
\end{eqnarray*}
когда параметрическая размерность $d\to\infty$, порог ошибки $\varepsilon\in(0,1)$ фиксирован, а доверительный уровень $\delta=\delta_{d,\e}$ может стремиться к нулю. Библ. -- 10 назв.
- Ключевые слова: тензорные случайные поля, аппроксимация
по вероятности, аппроксимация в среднем, сложность аппроксимации
[Tensor product-type random fields, approximation in probability,
average approximation, complexity of approximation]
Полный текст(.pdf)