"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 409, стр. 17-39
Динамическая система с граничным управлением,
связанная с симметрическим полуограниченным оператором
М. И. Белишев, М. Н. Демченко
Санкт-Петербургское отделение
Математического института
им. В. А. Стеклова РАН,
Фонтанка 27, 191023 С.-Петербург,
Россия
belishev@pdmi.ras.ru, demchenko@pdmi.ras.ru
- Аннотация: Пусть $L_0$ -- замкнутый плотно определенный симметрический полуограниченный оператор
с ненулевыми индексами дефекта в сепарабельном гильбертовом пространстве
$\mathcal H$. Он определяет {\it систему Грина} $\{{\mathcal H}, {\mathcal
B}; L_0, \Gamma_1, \Gamma_2\}$, где ${\mathcal B}$~-- гильбертово пространство,
а $\Gamma_i: {\mathcal H} \to \mathcal B$ суть операторы, связанные формулой Грина
$$
(L_0^*u, v)_{\mathcal
H}-(u,L_0^*v)_{\mathcal H}=(\Gamma_1 u, \Gamma_2 v)_{\mathcal B} -
(\Gamma_2 u, \Gamma_1 v)_{\mathcal B}.
$$
{\it Граничное пространство}
$\mathcal B$ и {\it граничные операторы} $\Gamma_i$
выбираются каноническим образом в рамках теории Вишика.
С системой Грина можно связать {\it динамическую систему с граничным управлением} (ДСГУ)
\begin{align*}
& u_{tt}+L_0^*u = 0, && u(t) \in {\mathcal H}, \,\,t>0,\\
& u|_{t=0}=u_t|_{t=0}=0, && \\
& \Gamma_1 u = f, && f(t) \in {\mathcal B},\,\,\,t \geqslant 0.
\end{align*}
Мы показываем, что эта система {\it управляема},
если и только если оператор
$L_0$ вполне несамосопряжен.
Дается определение {\it волнового спектра} оператора $L_0$.
Это топологическое пространство, которое строится по $L_0$ из
достижимых множеств ДСГУ.
Библ. -- 15 назв.
- Ключевые слова:динамическая система с граничным управлением, система Грина,
волновой спектр, восстановление многообразий
[dynamical system with boundary control, Green
system, wave spectrum, reconstruction of manifolds]
Полный текст(.pdf)