"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 408, стр. 187-196
Случайные определители, смешанные объемы эллипсоидов и нули случайных гауссовских полей
Д. Н. Запорожец, З. Каблучко
С.-Петербургское отделение Математического
института им. В. А. Стеклова РАН,
Фонтанка 27, Санкт-Петербург 191023, Россия
zap1979@gmail.com
Institute of Stochastics,
Ulm University, Helmholtzstr.~18,
89069 Ulm, Germany
zakhar.kabluchko@uni-ulm.de
- Аннотация: Рассмотрим матрицу $M$ размера $d\times d$, чьи строки являются
центрированными невырожденными гауссовскими векторами
$\xi_1,\ldots,\xi_d$ с ковариационными матрицами
$\Sigma_1,\dots,\Sigma_d$ соответственно.
Ообзначим $\mathcal{E}_i$ эллипсоид рассеивания
$\xi_i$: $\mathcal{E}_i=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d\,:\,
\mathbf{x}^\top\Sigma_i^{-1} \mathbf{x}\leqslant 1\}$.
Мы покажем, что
\begin{equation*}
\mathbf{E}\,|\det M|=\frac{d!}{(2\pi)^{d/2}}
V_d(\mathcal{E}_1,\dots,\mathcal{E}_d),
\end{equation*}
где $V_d(\cdot,\dots,\cdot)$ обозначает
{\it смешанный объем}. Мы также обобщим этот результат
на случай прямоугольных матриц. В качестве прямого
следствия мы получим аналитическое выражение для смешанного
объема произвольных эллипсоидов в $\mathbb{R}^d$.
В качестве другого приложения мы рассмотрим гладкое
центрированное невырожденное гауссовское случайное поле
$X=(X_1,\dots,X_k)^\top:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^k$.
Используя формулу Каца--Райса, мы получим геометрическую
интерпретацию интенсивности нулей $X$ в терминах
смешанного объема эллипсоидов рассеивания градиентов
$X_i/\sqrt{\mathbf{Var} X_i}$. Данная связь множества
нулей уравнений со смешанными объемами напоминает
хорошо известную теорему Бернштейна о числе решений
типичной системы алгебраических уравнений.
Библ. -- 10 назв.
- Ключевые слова:гауссовский случайный определитель,
матрица Уишарта, гауссовский случайный параллелотоп,
смешанный объем эллипсоидов, эллипсоид рассеивания,
нули гауссовских случайных полей, многогранники Ньютона, формула Каца--Райса
[Gaussian random determinant, Wishart matrix, Gaussian
random parallelotope, mixed volumes of ellipsoids,
location-dispersion ellipsoid, zeros of Gaussian random fields,
Bernstein theorem, Kac-Rice formula]
Полный текст(.pdf)