"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 408, стр. 9-42
Об асимптотике распределения сингулярных чисел степени случайной матрицы
Н. В. Алексеев, Ф. Гётце, А. Н. Тихомиров
Лаборатория им. П. Л. Чебышева,
С.-Петербургский госуниверситет, С.-Петербург, Россия
nikita.v.alexeev@gmail.com
Факультет математики,
Университета Билефельда, Билефельд, Германия
goetze@math.uni-bielefeld.de
Отдел математики
КНЦ УрО РАН, Сыктывкарский государственный университет,
ул. Чернова 3а, 16700 Сыктывкар, Россия
sasha-tikh@yandex.ru
- Аннотация: Мы рассматриваем степени случайных матриц с независимыми элементами.
Пусть $X_{ij},{ } i,j\ge 1$, -- независимые случайные величины (возможно комплексные) с
$\mathbf{E}\, X_{ij}=0$ и $\mathbf{E}\, |X_{ij}|^2=1$. Пусть
$\mathbf X$ означает $n\times n$ матрицу с $[\mathbf X]_{ij}=X_{ij}$ для $1\le i, j\le n$.
Обозначим через $s_1^{(m)}\ge\ldots\ge s_n^{(m)}$ сингулярные числа матрицы
$\mathbf W:=n^{-\frac m2} \mathbf X^m$
и определим эмпирическую функцию распределения квадратов сингулярных чисел формулой
$$
\mathcal F_{\mathbf X}^{(m)}(x)=\frac1n\sum_{k=1}^nI\{(s_k^{(m)})^2\le x\},
$$
где $I\{B\}$ означает индикатор события $B$.
Мы доказываем, что при условии Линдеберга для распределений элементов матрицы
математическое ожидание эмпирической функции распределения квадратов сингулярных чисел
$F_{\mathbf X}^{(m)}(x)=\mathbf{E}\, \mathcal F_{\mathbf X}^{(m)}(x)$ сходится к к
функции распределения $G^{(m)}(x)$, определенной своими моментами
$$
\alpha_k(m):=\int_{\mathbb R}x^k\,d\,G^{(m)}(x)=\frac {1}{mk+1}
\binom{km+k}{ k}.
$$
Приводится доказательство с помощью преобразования Стилтьеса.
Библ. -- 8 назв.
- Ключевые слова: числа Фусса--Каталана, случайные матрицы, сингулярные числа, степени случайных матриц
[Fuss--Catalan numbers, random matrices, singular values, powers of random matrices]
Полный текст(.pdf)