"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 404, стр. 233-258
Экстремальные значения автоморфных $L$-функций
О. М. Фоменко
С.-Петербургское отделение Математического
института им. В. А. Стеклова РАН,
Фонтанка 27, 191023 Санкт-Петербург, Россия
fomenko@pdmi.ras.ru
- Аннотация: Пусть $f(z)$ -- примитивная параболическая форма чётного веса
$\kappa\ge12$ относительно полной модулярной группы. Для автоморфных
$L$-функций $L(s,f)$, $L(s,\sym^2f)$, $L(s,f\times f)$, а также
для дзета-функции Дедекинда $\zeta_{K_3}(s)$ кубического поля $K_3$,
доказываются теоремы об экстремальных значениях этих функций,
аналогичные теореме~8.12 классической книги Титчмарша о дзета-функции
Римана.
Далее, в случае $L(s,f\times f)$ и $\zeta_{K_3}(s)$, где $K_3$ --
кубическое поле, полученное присоединением к ${\mathbb Q}$ корня полинома
третьей степени дискриминанта $D<0$ с группой Галуа $S_3$, эти
результаты уточняются. Например, для $L$-функции Ранкина--Сельберга
$L(s,f\times f)$ имеем: при $(\log T)^c\le Y\le T$, $T>C$, существуют
положительные константы $D_1$, $D_2$ такие, что
$$
\max\limits_{1\le t\le T+Y}\bigg|L\bigg(\frac12+it,f\times f\bigg)\bigg|\ge
\exp\bigg\{D_1\bigg(\frac{\log Y}{\log\log Y}\bigg)^{1/2}\bigg\},
$$
и
$$
\max\limits_{1\le t\le T+Y}\biggig|L\biggig(\sigma_0+it,f\times f\biggig)\biggig|\ge
\exp\bigg\{D_2\frac{(\log Y)^{1-\sigma_0}}{\log\log Y}\bigg\}
$$
для каждой константы $\sigma_0$, $\frac12<\sigma_0<1$.
Библ. -- 15 назв.
- Ключевые слова: автоморфные $L$-функции,
дзета-функция Дедекинда, экстремальные значения
[automorphic l-functions, the Dedekind zeta function, extremal values]
Полный текст(.pdf)